从美的角度培养学生的数学思维能力

用美的思想去开启数学真理,用美的方法去发现数学规律、解决数学问题,用数学的美来开启思维主体，凭借已有的知识和经验产生审美直觉,从而确定解题的总体思路或入手方向.因此，美的启示在解决问题的思维过程中起到了宏观指导的决策作用.

〖=D(〗一、追求简单性，探索解题途径〖=〗

许多数学问题，虽然其表现形式可能较为复杂，但其本质总存在简单的一面，因而，若能用简单的观点、简化的方法对问题进行整体处理或实施分解变化、降维、减元等转化的策略，则往往能找到解题的简易途径.

例1 已知关于x的方程ax2+2(2a-1)x+(4a-7)=0(a∈N)，问a为何值时，方程至少有一个整数解?

分析：所给问题若用求根公式解出x，再由a的值来讨论根的情况，运算较为复杂.但若注意到a的最高次数仅为一次，则可简单地把原方程看成关于a的方程，由此再讨论整数解x的存在就较为简便了.此时只考虑a=2x+7(x+2)2(x≠-2)及2x+7>(x+2)2(x∈Z)即可确定符合条件的a值.

〖=D(〗二、造成对称性，简化解题方法〖=〗

有些问题用对称的眼光去观察，通过形象的补形造成对称，或采用对称变换调整元素关系，则问题就可得到简化.

例2 6个人排成一排，其中甲在乙左侧的排法共有多少种?

分析：此题若用对称的眼光看十分简单，因为甲排在乙左侧与右侧是同等可能的，因而符合条件的排法有12A66=360(种).

〖=D(〗三、运用相似性，引申发散问题〖=〗

由于相似的因素，相似的条件能产生相似的关系或相似的结果.因此，在数学解题中常利用相似性的启示，运用联想、类比、猜想等方法找出正确的解题思路.

例3 已知a，b，c，d∈R，求证：(ac+bd)2≤(a2+b2)?(c2+d2).

分析：原不等式等价于(ac+bd)2-(a2+b2)(c2+d2)≤0，由此使人想到判别式，因而构造二次函数f(x)=(a2+b2)x2+2(ac+bd)x+(c2+d2)，又f(x)=(ax+c)2+(bx+d)2≥0恒成立，即Δ≤0成立，此题即可得证.

〖=D(〗四、利用和谐性，变换化归问题〖=〗

解数学问题的关键在于问题形式的变换与化归，而变换与化归的依据在于各种形式间在其本质上的和谐与统一.因此，利用和谐性就是设法将问题转化，使问题的条件与结论在新的协调下相互沟通，达到解决问题的目的.

例4 设x,y,z∈(0,1)，求证：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)

分析：若将待证关系式中y，z看做常量，而把x看成变量，那么特征关系式就是一个关于x的一次不等式，因此可借助于一次函数的图象予以解决.即设f(x)=1-［x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)］=(y+z-1)x+(yz+1-y-z).因为00,f(1)=yz>0.由于一次函数的图象是一条直线，所以当00成立，故原不等式成立.

〖=D(〗五、构思奇异性，突破常规思维〖=〗

奇异性的存在使得在解某些问题时，构造反例，寻求特例，采取反证递推途径或极端化手法能够发挥意想不到的作用.逆向思维、正难则反思在解题中的运用就是对奇异性的通俗理解.

例5 若关于x的二次方程x2+4mx+3-4m=0，x2+(m-1)x+m2=0,x2+2mx-2m=0(m∈R)中，至少一个有实根，求m的范围.

分析：此题若从正面入手，比较烦琐.若采用逆向思维，从其反面探求，显得极其简捷，即当三个方程均无实根时.求出m的范围M，再求M在R中的补集即可.若三个方程均无实根，则应有：(4m)2-4(3-4m)

“以美启真”就是学生在美感中求取数学的真，在美的理解中更深刻地领会数学的真，以便进一步在美的启发和暗示下，去探索和发现数学的真.数学美育对数学教学提出了更高的要求，对美的领悟对真的探求需要一个艰辛的过程，这也是提高学生数学素养的一个重要途径.