“二次”实际问题的错解辨析与题源探究

运用一元二次方程和二次函数知识，通过建立数学模型，解决简单的实际问题，是初中数学的核心内容，因而备受中考命题者的青睐。本文将以近年来中考试卷中涉及的一元二次方程、二次函数的实际问题为例，分类剖析错解形成原因，并追本溯源，探求这些试题与教材习题的关联。

一、不能正确提取数量关系

真正弄懂题意是正确解题的关键，迅速、准确地将文字语言用数学符号表示出来，实际问题就解决了一半。但不少学生没有养成良好的解题习惯，不能认真审题，抓不住关键词语，不能正确提取等量关系。在建立数学模型时，经常张冠李戴，眼睁睁地把数字、字母或运算符号看错或漏掉，导致解题失误。

例1 （2014・天津）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛。设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）

A。12x（x+1）=28

B。12x（x-1）=28

C。x（x+1）=28

D。x（x-1）=28

错解：D。

错因辨析：没有注意每两个参赛队之间只有一场比赛，由x（x-1）得到的比赛场数中恰有半数重复计算，应除以2。

解：B。

评注：本例由人教版初中数学九（上）（以下简称教材）第2页的问题2略加改动而成，教材第4页第6题，第17页第9，12题，第22页第6题以及第25页第7题等，都可以看作问题2的“姊妹题”。如果以其中的参赛队数x为自变量，比赛的场次数y为因变量，就可以得到形如教材第28页问题1的“单循环赛制”二次函数关系。受到这些启发，我们还可以编拟如下的题目：

1。某一线段上若干个点两两连接，共连成15条线段，求该线段上点的个数。

2。圆周上的若干个点两两连接，共连成21条线段，求点的个数。

3。若干个人互通电话，每两人之间都要通一次电话，共通了28次电话，共有多少人参与通话？

4。同学聚会，每两个同学之间都要互相交换名片，共交换了72张名片，共有多少个同学参加聚会？

一般来说，甲、乙二人互通电话、相互握手、一起照相等行为，是两人之间共同发生、不分先后顺序的一个动作；而甲、乙互送名片，发、受主体不同，因此是不同的两个动作。请大家注意它们的联系和区别。以上4个题目留给同学们自行解决，答案依次是：6，7，8，9。

二、忽视实际问题的条件

在一些实际问题中，所涉及的数学符号大都被赋予一定的实际意义，具有特定的取值范围。在解题过程中，不但应使其所构成的式子有意义，而且还需符合题目的条件和要求。不注意这一点，就很容易出现漏解、多解或错解。

例2 （2013・珠海）某渔船出海捕鱼，2010年平均每次捕鱼量为10吨，2012年平均每次捕鱼量为8。1吨，求2010年～2012年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率。

错解：设2010年～2012年捕鱼量的年平均下降率为x，依题意列方程，得10（1-x）2=8。1，解得x1=0。1=10[WTB3]%，x2=1。9=190[WTB3]%。答（略）。

错因辨析：捕鱼量的下降率最大降到100[WTB3]%，不可能超过100[WTB3]%，x2=1。9应舍去。

解：（略）。

评注：变化（增长或降低）率问题是一元二次方程应用的一个重要方面，教材第19页的探究2，第22页第7题，第26页第9，10题等，都可以看作例2的原型。中考试卷中涉及变化率的题目居多，难度一般都不大。如2014年昆明卷第6题，南京卷第22题等。求解变化率问题的基本思路是：若原来为a，增长率为b[WTB3]%，则结果为a（1+b[WTB3]%），而不是a+b[WTB3]%。另外，增长率是否保持不变，给出的是两个单位时间（年、月等）后产生的数量（产量、价格等）或为该阶段的活动总量，这些都是正确求解务必留心的关键点。一般地，如果以单位时间内的平均变化率x为自变量，两个单位时间后产生的数量y为因变量，就可以得到形如教材第28页的问题2，第41页第2题，第56页第2题等的“变化率”二次函数关系。

例3 （2014・新疆）如图1，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

错解1：设AB的长度为x米，则BC的长度为100-2x2=（50-x）米。由题意，得（50-x）x=400，…。

J]

错解2：设AB的长度为x米，则BC的长度为100-4x2=（50-2x）米。由题意，得（50-2x）x=400，…。

错解3：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100-4x）米。由题意，得（100-4x）x=400，解得x1=20，x2=5。100-4x=20或100-4x=80。答：羊圈的边长AB，BC分别是20米，20米或5米，80米。

错因辨析：错解1和错解2没有结合图形、理解“利用一面墙”“用100米的围栏围成三个矩形羊圈”等关键词语的含义；错解3忽略了“墙长为25米”的条件，没有对求出的两个x值是否都符合题意进行检验。

解：设元，列式，求解，分别得到x，100-4x的两组值，同错解3。80>25，x2=5舍去。即AB=20，BC=20。答：羊圈的边长AB，BC均为20米。

评注：此题的原型是教材25页的第8题。本题的变式很多，“靠墙”“不靠墙”的问题，围成图形的形状为矩形、三角形、圆形、半圆形，如教材第4页第4，5题，第17页第11题，第21页第3题等，但万变不离其宗，不变的是边长、周长与面积之间的关系。如果以围成图形的长（或宽或半径等）x为自变量，面积y为因变量，就可以得到形如教材第57页第7题的“面积型”二次函数关系，进而去探求周长是定值的条件，一边长为何值时，构成图形的面积最大问题。类似的题目还有第49页的探究1，第52页的第4～7题，第9题等，都是中考的重要“题眼”。

例4 （2014・长沙模拟）某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销量y（件）与销售价x（元）的关系近似地看作一次函数如图2。

（1）求y与x的函数关系式；

（2）设公司获得的总利润（总利润=总销售额-总成本）为p元，求p与x之间的函数关系式。根据题意判断，当x取何值时，p的值最大？最大值是多少？

错解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，函数过点（60，400），（70，300），400=60k+b，

300=70k+b，解得k=-10，

b=1 000。故函数关系式为y=-10x+1 000。

（2）由题意，得p=（x-50）（-10x+1 000），即p=-10x2+1 500x-50 000。a=-10

错因辨析：在（2）的求解中，受思维定式影响，认为二次函数的最值一定在顶点处取到，没有考虑自变量x的取值范围。题目限定50≤x≤70，而x=75并不在这个范围内。

解：（1）同上。

（2）由题意，得p=（x-50）（-10x+1 000），即p=-10x2+1 500x-50 000。a=-10

三、缺乏数学活动经验

大多数学生对商品打折销售、银行存款利息、购房分期付款、出租车计价等“生活中的数学”很少有机会经历和体验，思维滞留于教科书和练习册的固定题型上，一旦遇到“原生态”的实际问题，迷茫、出错就在所难免了。

例5 （2014・巴中改编）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元。经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量将减少10个；定价每减少1元，销售量将增加10个。商店若准备获利2 000元，则应进货多少个？定价为多少元？

错解：设定价为（52+x）元，则每销售一个获利（52+x-40）元，共销售（180-10x）个，由题意，得（52+x-40）（180-10x）=2 000，整理，得x2-6x-16=0，解得x1=8，x2=-2（不符合题意，舍去），当x=8时，52+x=52+8=60（元），180-10x=180-10×8=100（个）。答：（略）。

错因辨析：认为提价不能为负，将x2=-2舍去，导致错误。

解：前面的解题过程参照错解。当x=-2时，52+x=50（元），180-10x=200（个）也符合题意。答：（略）。

评注：例4，例5同属价格调整问题，原型是教材50页的探究2，和它相类似的还有教材第51页第2题，第52页第8题等。在社会主义市场经济条件下，商品经营者为追求合法利益的最大化，适时适度地涨价和降价是常有的事，因而也日益成为中考考查二次函数应用的重要素材。如上所述，忽略实际问题中自变量的取值范围，对商品销售中诸如进价、定价、销售数量、利润等数量关系缺乏全面的认识，都是解答此类问题时常见的错误。

四、缺乏分类讨论意识

当问题具有开放性、不确定性时，需要按照一定的原则或标准，“既不重复又不遗漏”地把问题分为若干类，然后逐类讨论，梳理汇总，进而得出问题的答案，这就是分类讨论。忽视分类、不知道如何分类、分类不科学是学生解题过程中容易犯的错误。

例6 （2014・扬州改编）某店因为经营不善欠下38 400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金。“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30 000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）。已知该店的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图3中的一条折线（实线）来表示。该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其他费用为106元（不包含债务）。

（1）求当40≤x≤58时，日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；

（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡（收入=支出），求该店员工的人数；

（3）若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？

错解：（1）运用待定系数法，易得当40≤x≤58时，日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式为y=-2x+140（40≤x≤58）。

（2）设人数为a，当x=48时，y=-2×48+140=44，

（48-40）×44=106+82a，

解得a=3。

（3）设需要b天，该店还清所有债务，则b＼[（x-40）・y-82×2-106＼]≥68 400，

b≥68 400（x-40）y-82×2-106

=68 400（x-40）（-2x+140）-82×2-106

=68 400-2x2+220x-5 870。

当x=55时，-2x2+220x-5 870取最大值180，b≥68 400180=380，即该店最早需要380天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为55元。

错因辨析：第（1）问和第（2）问求解过程无误，第（3）问的结论正确，但没有分类讨论。

解：（1），（2）同上。

（3）设需要b天，该店还清所有债务，则

b＼[（x-40）・y-82×2-106＼]≥68 400，

b≥68 400（x-40）y-82×2-106。

当40≤x≤58时，

b≥[SX（]68 400[]（x-40）（-2x+140）-82×2-106[SX）]

=68 400-2x2+220x-5 870，

当x=55时，-2x2+220x-5 870取最大值180，b≥68 400180=380。

当58

则b≥68 400（x-40）（-x+82）-270

=68 400-x2+122x-3 550，

当x=61时，-x2+122x-3 550取最大值171，b≥68 400171=400。

综上可得b≥380，即该店最早需要380天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为55元。

评注：此题属方案设计型问题。方案设计型问题通常是指根据题目提供的信息，综合运用已有的知识，构造解决问题的可行方案，或者针对给出的若干种解决方法，通过计算、证明或动手操作，比较其优劣得失，确定最佳方案的一类问题。由于它具有联系实际、取材广泛、解法灵活等显著特点，因而成为考查学生分析问题、解决问题能力的重要载体，频繁出现在各地的中考试卷中，对此大家应用心去体会和把握。