方法决定成败,“时间”决定“行为”

带电粒子在复合场中的运动是比较复杂的问题，“时间”决定着带电粒子在复合场中运动的“行为”是近几年高考命题的热点，也是大家学习中的重点和难点．所谓的“时间”是一个广义的时间，可以是粒子的运动时间，场的变化时间，也可以是某个时刻，或某段时间间隔，而所谓“行为”就是对粒子或对复合场提出的某种要求．

一、找出运动特征，巧求粒子运动时间

例1 1932年，劳伦斯和利文斯设计出了回旋加速器．回旋加速器的工作原理如图1所示，置于高真空中的D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝宽d很小，磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直．A处粒子源产生的粒子质量为m、电荷量为+q ，在加速器中被加速，加速电压为U．加速过程中不考虑相对论效应和重力作用．

（1）若两盒间狭缝宽d很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计．求粒子从静止开始加速到出口处所需的时间；

（2）若带电粒子穿过狭缝的时间不能忽略，求粒子在整个狭缝中运动的时间．

解析：（1）设粒子到出口处被加速了n圈，

（2）因为在电场中加速时的加速度大小相等，加速时间每一次不相等，设第1次为，第2次为，第3次为，……第n次为，每次加速后的轨道半径分别为r1、r2、r3……rn，则在电场中加速的总时间为 ：

求这个时间还可以用更巧妙的方法：把粒子在狭缝的整个加速运动看成是连续的初速度为零的匀加速直线运动．由匀变速直线运动的规律 （n为粒子到射出被加速的圈数）， 仍然可以求得．

点评：粒子在磁场中运动的速度不断变大，但在磁场中运动的周期与速度大小无关．因此，关键是找出加速的次数n；另外，要求粒子在狭缝中的时间，关键分析出粒子每次在狭缝中都是匀变速运动．所以同学们在遇到这类问题时，首先要根据题意分析出粒子运动的特点，再用巧妙的方法求解．

二、利用分运动，求电场变化的时间

例2 如图2甲所示，在真空中水平放置两块平行金属板，两板相距为d，板长为L，两板间加上如图乙所示的周期变电压，在t=T/4时，有一电子（质量为m，电荷量为e）以水平速度沿两板正中央飞入电场，要使电子仍从两板中央沿水平方向飞出电场，交变电压的频率最小是多少？在这个频率时所加电压最大不能超过多少？

解析：电子在电场中的运动状态是水平方向分运动是以速度做匀速直线运动．

竖直方向的分运动是第一个匀加速，第二个匀减速至零，并达最大位移，第三个反向匀加速，第四个匀减速至零，又回到中央水平直线处．

电子仍能从两板中央沿水平方向飞出，必须是电子到达极板右端时，在竖直方向上又回到中央直线处，且竖直分速度为零，则飞行时间为经历一个周期或几个周期的时间即，周期为最大值时，

对应的频率的最小值：，

经过时，电子在竖直方向到达最大位移处，即，

为使电子不碰到极板应满足，得．

点评：解决这类问题的核心是粒子在电场方向上一个周期内的位移必须为零，速度的改变量为零．我们知道任何复杂的运动，都可以等效为两个简单的分运动，而运动又具有独立性，所以抓住某个分运动特征进行求解，往往使复杂的问题简单化．

三、巧用对称性，确定粒子进入场的时间

例3 如图3甲所示，建立Oxy坐标系，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为，第一、四象限有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于Oxy平面向里．位于极板左侧的粒子源沿x轴向右连接发射质量为m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子．在0~ 3t0时间内两板间加上如图3乙所示的电压（不考虑极板边缘的影响）．

已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t0时刻经极板边缘射入磁场．上述m、q、、t0、B为已知量．（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况）求：何时进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间．

解析：t=o时刻进入两极板的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动， t0时刻刚好从极板边缘射出，在y轴负方向偏移的距离为l/2，设其加速度大小为a ，则有l/2=at02/2 ①，

因为粒子在磁场中运动的时间与在磁场中转过的圆心角度有直接关系，由对称性知，2t0时刻进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间最短．带电粒子离开磁场时沿y轴正方向的分速度为 ②，

设带电粒子离开电场时速度方向与y轴正方向的夹角为，则 ③，

带电粒子沿x轴方向的分速度大小为v0=l/t0 ④，

联立①②③④式解得，带电粒子在磁场运动的轨迹图如图4所示，圆弧所对的圆心角为，所求最短时间为，带电粒子在磁场中运动的周期为，联立以上两式解得．

点评：磁场中圆周运动时间的最值问题，由和得带电粒子在磁场中运动时间，时间与速度无关，圆心角越大，则粒子运动时间越长，因此圆心角之“最”决定运动时间之“最”．

四、利用数学规律，求粒子运动时间的最值

例4 在某平面上有一半径为R的圆形区域，区域内外均有垂直于该平面的匀强磁场，圆外磁场范围足够大，已知两部分磁场方向相反且磁感应强度都为B，方向如图5所示．现在圆形区域的边界上的A点有一个电量为，质量为的带正电粒子，以沿OA方向的速度经过A点，已知该粒子只受到磁场对它的作用力．若粒子在其与圆心O的连线旋转一周时恰好能回到A点，求该粒子回到A点所需的最短时间．

解析：设粒子运动的半径为r，

由此可知粒子在圆形区域外和圆形区域内圆周运动的轨道半径相同．

如图6，O1为粒子运动的第一段圆弧AB的圆心，O2为粒子运动的第二段圆弧BC的圆心，根据几何关系可

故∠AOB=∠BOC=2θ

如果粒子回到A点，则必有n2θ=2π（n取正整数） ③，

考虑到θ为锐角，即0

粒子做圆周运动的周期T=．

因为粒子每次在圆形区域外运动的时间和圆形区域内运动的时间互补为一个周期T，所以粒子穿越圆形边界的次数越少，所花时间就越短，因此取

而粒子在圆形区域外运动的圆弧的圆心角为α，

故所求的粒子回到A点的最短运动时间为t=T+T=．

点评：粒子要回到A点，必须满足n2θ=2π这个关系式，要使运动的时间最短，必须n最小．可见把数学和物理有机结合解决这类问题很方便，我们知道数学有很多规律可以应用到物理解题中，特别对求解物理最值问题很有效．

五、用累积法，求变加速运动的时间

例5 如图所示，质量为m、边长为L的正方形闭合线圈从有理想边界的水平匀强磁场上方h高处由静止起下落，磁场区域的边界水平，磁感应强度大小为B，线圈的电阻为R，线圈平面始终在竖直面内并与磁场方向垂直，ab边始终保持水平．若线圈一半进入磁场时恰开始做匀速运动，重力加速度为g.求：从线圈cd边进入磁场到开始做匀速运动所经历的时间t

解析：先求出线圈匀速运动时的速度，线圈匀速运动时，受到的重力和安培力平衡，

设线圈进入磁场过程中的加速度为a，

线圈进入磁场过程中，设极短时间内的速度变化为，

点评：从上面的问题可以看出，线圈的加速度逐渐减小，速度逐渐增大，最后匀速运动．求这种变加速运动的时间是没办法直接用公式来解决的，我们用这样一种累积思想就可以解决此类问题．