构造可导抽象函数常见类型例析

由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，理解研究起来比较困难，是高中数学函数部分的难点.但抽象函数问题既能考查函数的概念和性质，又能考查学生的思维能力，所以也是高考的热点.而新课标引入导数后，为解决抽象函数的问题提供了新的工具和方法.本文介绍构造可导抽象函数解题的常见类型，供大家参考.

一、构造可导差函数

例1 （2011年高考辽宁文、理11题）函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，f ′（x）>2，则f（x）>2x+4的解集为 （ ）.

A.（-1，1） B.（-1，+∞） C.（-∞，-1） D.（-∞，+∞）

解析 构造F（x）=f（x）-2x-4，则F′（x）=f ′（x）-2>2-2=0，所以F（x）为R上的增函数.又因为F（-1）=f（-1）-2×（-1）-4=0，f（x）>2x+4，即F（x）>0=F（-1），所以x>-1.故选B.

例2 已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，f（x）的导函数f ′（x）

12，则2f（x）

A.{x|-1

C.{x|x1} D.{x|x>1}

解析 构造F（x）=2f（x）-x-1，则F′（x）=2f ′（x）-1

二、构造可导积函数

（1）若f ′（x）g（x）+f（x）g′（x）≥0（或≤0），构造F（x）=f（x）g（x），则F′（x）=f ′（x）g（x）+f（x）g′（x）≥0（或≤0）；

（2）若f ′（x）+f（x）≥0（或≤0），构造F（x）=exf（x），则F′（x）=ex[f ′（x）+f（x）]≥0（或≤0）；

（3）若xf ′（x）+f（x）≥0（或≤0），构造F（x）=xf（x），则F′（x）=xf ′（x）+f（x）≥0（或≤0）；

（4）若xf ′（x）+nf（x）≥0（或≤0），构造F（x）=xnf（x），则F′（x）=xn-1[xf ′（x）+nf（x）]≥0（或≤0）（注意对xn-1的符号进行讨论）.

例3 设f（x）、g（x）分别是定义在R上的可导函数，f ′（x）g（x）+f（x）g′（x）>0，且g（-3）=0，求f（x）g（x）

解析 构造F（x）=f（x）g（x），则F′（x）=f ′（x）g（x）+f（x）g′（x）>0，所以F（x）为R上的增函数.

又因为F（-3）=f（-3）g（-3）=0，

所以F（x）=f（x）g（x）

所以x

故f（x）g（x）

例4 设f（x）是R上的可导函数，且f ′（x）≥-f（x），f（0）=1，f（2）=1e2，求f（1）的值.

解析 构造F（x）=exf（x），则F′（x）=ex[f ′（x）+f（x）]≥0，所以F（x）为R上的增函数或常函数，又因为F（0）=e0f（0）=1，F（2）=e2f（2）=1，所以F（x）1.故F（1）=e1f（1）=1，即f（1）=1e.

例5 若函数y=y（x）在R上可导且满足xf ′（x）>-f（x）恒成立，且a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是（ ）.

A.af（b）>bf（a） B.af（a）>bf（b）

C.af（a）

解析 构造F（x）=xf（x），则F′（x）=xf ′（x）+f（x）>0，所以F（x）为R上的增函数.又因为a>b，所以F（a）>F（b），即af（a）>bf（b）.故选B.

例6 （2009年高考天津文10题）设函数f（x）在R上的导函数为f ′（x），且2f（x）+xf ′（x）>x2，下面的不等式在R上恒成立的是 （ ）.

A.f（x）>0 B.f（x）

C.f（x）>x D.f（x）

解析 构造F（x）=x2f（x），则F′（x）=x[2f（x）+xf ′（x）].

当x=0时，由2f（x）+xf ′（x）>x2，得f（x）>0；

当x>0时，F′（x）=x[2f（x）+xf ′（x）]>x3>0，

所以F（x）在（0，+∞）上递增，

所以F（x）>F（0）=0，即x2f（x）>0，故f（x）>0；

当x

所以F（x）在（-∞，0）上递减，

所以F（x）>F（0）=0，即x2f（x）>0，故f（x）>0.

综上可知，当x∈R时，f（x）>0，故选A.

三、构造可导商函数

（1）若f ′（x）g（x）-f（x）g′（x）≥0（或≤0），且g（x）≠0，构造F（x）=F（x）g（x），则F′（x）=f ′（x）g（x）-f（x）g′（x）g2（x）≥0（或≤0）；

（2）若f ′（x）-f（x）≥0（或≤0），构造F（x）=f（x）ex，则F′（x）=f ′（x）-f（x）ex≥0（或≤0）；

（3）若xf ′（x）-f（x）≥0（或≤0），且x≠0，构造F（x）=f（x）x，则F′（x）=xf ′（x）-f（x）x2≥0（或≤0）；

（4）若xf ′（x）-nf（x）≥0（或≤0），且x≠0，构造F（x）=f（x）xn，则F′（x）=xf ′（x）-nf（x）xn+1≥0（或≤0）（注意对xn+1的符号进行讨论）.

例7 已知f（x）、g（x）都是定义在R上的可导函数，且满足f（x）=axg（x）（a>0且a≠1），g（x）≠0，f（x）g′（x）>f ′（x）g（x），若

f（1）g（1）+f（-1）g（-1）=52，求关于x的不等式logax>1的解集.

解析 构造F（x）=f（x）g（x）=ax，则F′（x）=[f（x）g（x）]′=f ′（x）g（x）-f（x）g′（x）g2（x）

又f（1）g（1）+f（-1）g（-1）=a1+a-1=52，解得a=12，所以log12x>1，解得0

简单的正向应用求导运算法则仅仅考查了学生对法则的掌握，而在此基础上构造可导抽象函数，则更能检阅学生对求导运算的全方位把握，更能体现出数学思维的双向变通.正因为如此，考查构造可导抽象函数应用的试题倍受命题者的青睐，意在考查学生熟练掌握求导法则应用的能力和灵活、变通应用的能力.