变图形,求面积

求图形的面积是几何面积计算题中的常见问题，在中考中也常出现。有些问题按常规的方法去求解较繁琐，有时还会陷入困境，难以解决，这时可将图形改变一下或移动一下，往往能化难为易。现举几例供参考。

一、等面积变形

例１．（２００５年毕节地区中考数学试卷２６题）如图１，ＡＢ是Ｏ的直径，点Ｃ是ＢＡ延长线上一点，ＣＤ切Ｏ于点Ｄ，弦ＤＥ∥ＢＣ，Ｑ是ＡＢ上一动点，ＱＡ＝１，ＣＤ是Ｏ半径的倍。

１．求Ｏ的半径Ｒ；

２．当Ｑ从Ａ向Ｂ运动的过程中，图中的阴影部分的面积是否发生变化，请你说明理由；如若不发生变化，请你求出阴影部分的面积。

解：１．由切割线定理可解得半径Ｒ为１。２． 当Ｑ从Ａ向Ｂ运动的过程中，图中的阴影部分的面积不发生变化。

理由：连接ＯＤ，ＯＥ，因为ＤＥ∥ＢＣ，所以ＱＤＥ的面积等于ＯＤＥ的面积。即：阴影部分的面积等于扇形ＯＤＥ的面积。

在ＲｔＣＯＤ中，因为ＣＯ＝２，ＯＤ＝１， 所以∠ＣＯＤ＝６０°，所以ＯＤＥ是等边三角形。

阴影部分的面积等于扇形ＯＤＥ的面积。即

＝。

二、移动、划归

例２．如图２，已知两个半圆，大半圆的弦ＡＢ与小半圆的弦相切，且ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ＝４，求图中阴影部分的面积。

分析：因为大小圆的半径都是未知数，因此要求两个半圆间阴影部分的面积似乎条件不足。若把小圆移动，移到两个半圆的圆心重合，如图３，这样图中阴影部分的面积不变。

解：移动小半圆，使小半圆与大半圆的圆心重合于Ｏ，如图３，连结ＯＡ，ＯＥ由已知可得：

阴影部分的面积＝ ＯＡ２ － ＯＥ２ ＝（ＯＡ２ －ＯＥ２）

＝（）＝２。

例３．如图４，在ＡＢＣ中，∠Ｂ＝９０°，ＡＢ＝ＢＣ＝４ｃｍ，ＡＢ为Ｏ的直径，Ｏ交ＡＣ于Ｄ。求图中阴影部分的面积。

解：连ＢＤ，易证ＢＤ＝ＡＤ，这时把图中左边阴影弓形拼到右上部阴影部分的下面，凑成一个三角形，则有：阴影部分的面积等于ＡＢＣ面积的一半，即

阴影部分面积＝ ××４×４＝４ｃｍ２。

三、旋转图形

例４．如图５，两个边长为ｍ的相同的正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心，求这两个正方形重叠部分的面积。

解：将正方形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′绕Ａ点转动，使Ａ′Ｄ′∥ＡＢ，易证图中两个阴影小三角形全等。因此，原重叠部分的面积与这时重叠部分的面积相等。

所以两个正方形重叠部分的面积为：（ｍ）２＝ｍ２ 。

总之，在解题过程中，只要我们灵活变换图形的位置，观察其数量关系，问题的本质属性就十分容易被揭示出来，从而求得图形面积，使问题迎刃而解。

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