《哪一头更重》析疑

【摘要】O1O=AO=L（1） 但如何确定粗端OB段（可看作等腰梯形）的重心O2的位置呢？ 下面本文就用两种方法来确定等腰梯形的重心O的具置。 方法一： 如下图，一个等腰梯形ABCD的顶边为a，底边...

【中图分类号】G63.02 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2013）9-0-01

笔者在教学过程中发现：学生在学习过程中容易想当然，甚至有些题目都有些“想当然”的嫌疑：比如细线挂萝卜，当萝卜处于水平平衡时，粗端细端哪一头更重？在这里，我们通常很容易想当然地认为细端所受重力的力臂大于粗端所受重力的力臂，但是其依据是什么呢？为了找到有力的依据，笔者把上述问题改编成如下问题：

假设物体AB从细端到粗端均匀地增粗，如下图，其长度为L，且其重心O恰好距粗端三分之一长度处。试比较细端OA和粗端OB哪一头更重？

在这里，细端OA段（可看作三角形）的重心为O1，粗端OB段（可看作等腰梯形）的重心为O2。

很显然，由题意细端OA段（可看作三角形）的重心O1的位置应满足：

O1O=AO=L（1）

但如何确定粗端OB段（可看作等腰梯形）的重心O2的位置呢？

下面本文就用两种方法来确定等腰梯形的重心O的具置。

方法一：

如下图，一个等腰梯形ABCD的顶边为a，底边为b，高为H，那么它的重心离顶边的距离是多少？

首先，我们用作图法来确定等腰梯形的重心位置O。很显然，重心O应该在中线ef上；为了找到重心O的具置，我们过B点作AD的平行线BE，这样就把梯形分解为一个等腰BCE和一平行四边形ABED，它们的重心很容易确定为O1和O2，其中O1g=H，O2h=H。现在把O1和O2连接起来，根据杠杆的平衡条件，梯形的重心就应该在O1和O2的连线上。这样，ef和O1O2的交点O就是梯形的重心。那么eO究竟为多少呢？为此我们延长O2O1交DC于i点：

于是我们不难得出：

gC=（b-a）/2（1）

Dh=hg=×Dg（2）

而Dg=CD-gC=b-（b-a）/2=（a+b）/2（3）

由（2）式和（3）式可得：

hg=（a+b）/4（4）

hC=hg+gC=（3b-a）/4（5）

又iO1g∽iO2h

ig/ih=O1g/O2h=2/3（6）

由（6）式联立（1）（5）式可得：

Ci=2hC-3gC=a（7）

再根据igO1∽ifO可得：

O1g/Of=ig/if=（gC+Ci）/（fC+Ci）（8）

由（8）式联立（1）（7）式可得：Of=×H

eO=ef-Of=×H（9）

由题意可知：粗端OB段（等腰梯形）的顶边长为底边的2/3，即满足：

a=b、高H=L同时代入（9）式可得：

OO2=L（10）

比较（1）式和（10）式可得O1O=L=LOO2=L

由杠杆平衡条件可得：G1×O1O=G2×OO2

O1OOO2

G1G2即粗端比细端更重！

请看方法二：

如右图：利用割补法把等腰梯形ABCD添补成等腰CDE。其中O1为等腰ABE的重心，O为等腰CDE的重心，O2为等腰梯形ABCD的重心.已知AB=a，CD=b，高FG=H.现不妨假定等腰ABE的高EF=h：

ABE∽DCE

a/b=h/（h+H）

得出h=aH/（b-a）（1）

再设等腰ABE和等腰梯形ABCD和重力分别为G1和G2，很显然，G1和G2的比值就是它们的面积S1和S2之比.

而S1=ah，S2=（a+b）H（2）

又O1O=EO-EO1=（h+H）-h=H（3）

FO=EO-EF=（h+H）-h=H-h

OO2=FO2-FO=FO2-H+h（4）

由杠杆平衡条件可知：

G1×O1O=G2×OO2（5）

把（1）（2）（3）（4）式代入（5）式可得：

FO2=×H（6）

点评：比较可以发现：

1.（6）式的结果和方法一中（9）式是完全相同的！但方法一是先利用物理知识确定等腰梯形的重心位置，再利用几何知识求出其重心到等腰梯形上底的距离；而方法二是先利用几何知识来确定三个重心间的距离，再利用物理知识求出等腰梯形的重心到其上底的距离.这正所谓是异曲同工、殊途同归！可见，要学好物理，没有一定的数学知识是行不通的.

2.以上“粗端更重”的结论是在特殊情况下得出的，如果换成了形状不规则的萝卜等物体，要得出这个结论就有些牵强了。