2013南京市中考特色试题之我见

（南京卷26题）已知二次函数。

（1）求证：不论与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；

（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D。

①当ABC的面积等于1时，求a的值；

②当ABC的面积与ABD的面积相等时，求m的值。

一、背景“熟悉”又“陌生”

本题给出一个二次函数，第一小问要判断二次函数与x轴交点情况，学生很熟悉这个背景，但本题除了自变量x之外，还有两个参数a和m，学生处理起来有一定的困难，因此学生又会感到很陌生，此处对学生的代数推理能力要求较高，这样处理不少同学难以计算得出正确结论。

回顾近几年考察函数需分类讨论的问题不少，所以相关练习平时应该都有训练，再审此题，层次好点的学生容易发现，题目虽然明确了该函数为二次函数，但形式上是复合式二次函数，即式子前后两个小括号内均为x-m，用整体思想处理，函数形式更加简洁，特征更加明显，想到此该问题会变得简单很多。当然这也许是出题者的意图所在，更好地体现了本套试卷的区分度。

二、关注学生知识和能力的共同发展

问题（1）有多种解法，不同解法可以体现出学生的思维品质和学习能力的差异性。

1.若自变量为x，即y是关于x的二次函数。

（1）判别式法

①将该函数化为一般式，直接求出对应的一元二次方程的判别式b2-4ac化简得出。

（2）求根法

（3）顶点分析法

若a>0，则抛物线开口向上，而顶点纵坐标

若a0，即顶点在x轴上方，同样有函数图象与x轴有两个公共点。

2.若自变量为x-m，即y是关于（x-m）的二次函数。

（4）整体换元法

易知，换元后的函数同样适合上述通法，即判别式法、配方法以及求根法，且更加简化计算，给解题带来方便。

除此之外，分析函数关系式，不难发现对于函数y=ax′2-ax′，此时c=0且b=-a≠0，即关于该二次函数图象过原点，且顶点不在原点，从而确定该二次函数与x轴总有两个公共点。

综上，本题能力立意较高，无论选择哪种解法和思路，学生的代数推理能力很强，同时二次函数的相关知识要熟练、熟知才行。

三、多解归一，彰显数学本质

由《二次函数图象和性质》的探究方法和过程，不难发现上述的种种解法都是可以追溯出二次函数]和之间有密切的联系：

1.函数与具有某些相同的性质，即两个函数的对称轴相同，与x轴的交点个数及坐标也相同。

（1）从关系式看，方程，当a≠0时，可化简为，其理论依据是等式的基本性质。

（2）从图象看，对于同一个x值，y值成a倍缩小或扩大，即可以理解为图象发生了上下伸缩变换。

2.函数与具有某些相同的性质，即函数的开口方向、最值以及与x轴交点的个数都相同，其原因是这两个图象发生了左右平移变换。

3.不难看出，函数y=a[（x-m）2-（x-m）]是由同时发生了上下伸缩变换和左右平移变换得到，因此具有唯一不变的性质，即图象与x轴交点的个数不变。

上述的种种解法实际上是归一的，彰显出这两个函数本质上有一致性。

四、促进反思，引领教学

1.单纯的教性质，不如学生自主探究，借助同伴互助交流，弄清知识的发生发展过程，辅之教师循循善诱，帮助学生认清二次函数性质的本质。

2.单纯的解题，不如学审题，多角度观察、思考并尝试揣摩出题者的意图。

3.单纯的计算训练，不如强化学生自主列式并化简。近几年的中考已经提示我们代数推理能力要求持续升高，不在于单纯地计算，而更多地潜伏在解答题中，让学生能有序地化简繁琐的式子，从而得出结论。

总之，以后的教学中在教给学生知识的同时，更要高度关注学生能力的培养，培养学生自主探究意识，培养学生多角度观察能力，培养学生创造性思维和发散性思维习惯，帮助学生在学习知识的同时，能力得到更好的发展与提升。

（作者单位 江苏省南京市育英第二外国语学校）