克服漏解现象,须从教学突破

《中学数学教学参考》（中旬刊）2011年第8期刊载了江苏李印老师的《两道漏解试题的原因分析》一文（以下简称《李文》）. 《李文》中的题2，仍存在漏解. 题2的漏解其实是学生对题中所给条件“另一条直角边与正方形的某一边所在直线交于点E”理解上的偏差所致. 这里的“正方形的某一边”应有三种可能，即边AD，BC，AB（因直角顶点在CD边上），《李文》中遗漏的是“另一条直角边与AB边所在直线相交”的情形（如图1）. 在这一情形里，图中共有三个与BPC相似的三角形，它们是PBE，EAM，PMD（仅用题中原有字母表示的仅有PBE）. 当点P为CD中点时，PBE与BPC的周长比等于BP∶PC=■∶1；PMD与BPC的周长比等于PD∶BC=1∶2；EAM与BPC的周长比等于EA∶BC=3∶2.

学生在数学解题的过程中，经常会发生漏解现象，这也是老师和学生普遍感到棘手的事情. 《李文》所列举的两例属于几何中常见的漏解现象，李老师所析原因：一是因不加区分图形内涵而造成的漏解；二是因操作意识不强而造成的漏解. 这是基于学生层面的分析. 其实，漏解现象发生的原因是多方面的. 既有学生的因素，也应有教师的因素. 学生层面的原因主要有：知识理解有偏差，概念不清，法则模糊，知识之间时常发生负迁移；思维方法的欠缺，分析问题以偏概全；整体把握问题的能力欠缺，关键信息的提取和信息间的联系等方面存在不足等. 教师层面的原因主要有：教学重结果，轻过程；重问题解决，轻解题后的反思；重知识的积累，轻方法的联系；重题型归纳，轻方法探究等. 教师作为学生学习的组织者、引导者，对此应有比较清晰和全面的认识. 漏解现象时常发生，教者普遍感到纠错工作常常事倍功半. 笔者在多年数学教学实践中，就如何克服学生的漏解现象有几点体会，现与同行交流. 不妥之处，敬请指正.

一、引导学生准确理解知识内涵——源头堵漏

许多漏解现象是学生对知识内涵的理解偏差所致. 《李文》中题1的漏解其实就是学生未能正确理解“直线上到其上定点的距离等于定长的点有两个”而造成的. 在教学时，引导学生结合生活经验理解，并让学生绘制图形通过直观进一步加以感知、理解和体验. 同时在实践探索的基础上加以总结和归纳：平面内，到定点距离等于定长的点有无数个，它们分布在以定点为圆心，定长为半径的圆上；直线上到其上定点的距离等于定长的点有两个，它们分布在此点的两旁；直线上到直线外一点距离等于定长的点有2个、1个或0个；射线上到其上一点的距离等于定长的点有2个或1个；线段上到其上一点的距离等于定长的点有2个、1个或0个. 对于总结的规律，依据教学的进程适时结合相关的情境加以运用.

在数轴教学时可进行下列训练：

（1）数轴上两点A，B，点A表示数2，AB=3，则点B表示的数是_____；

（2）数轴上两点A，B，点A表示数-1，AB=3，则点B表示的数是_____；

（3）判断：数轴上两点A，B，点A表示数2，AB=3，则点B表示的数是5；

在用方程解决问题时，可设计下列问题：

（1）小明和小亮分别从相距100m的两地同时同向出发（小明在后），小明的速度为3m/s，小亮的速度为2m/s，几秒后两人相距50m？

（2）小明和小亮分别从相距100m的两地同时相向出发，小明的速度为3m/s，小亮的速度为2m/s，几秒后两人相距50m？

在等腰三角形学习时，探究：

如图2，在直线m上作一点B，使AOB为等腰三角形. 这样的点B能作几个？请一一作出来.

在教学中，教师要依据学生认知能力和所学知识，及时预设相关问题加以探讨，螺旋式推进，不断促进学生对数学知识内涵等本质属性的理解，从源头上克服漏解的现象.

二、呈现思维过程，引领思维发展——方法补漏

更多的漏解现象，源自于学生审题能力的薄弱、未知与已知信息联系不畅、问题解决的方法单一以及题型归纳的思想禁锢等. 《李文》中的题2的漏解，便是学生对题意的片面理解所致. 在教学活动中，对于问题的探究，我们应该尽可能地呈现学生、教者的思维过程，通过题意的审析、条件与结论间连接脉络结构，由因导果、由果索因等思维过程的展示，不断校正和完善学生解决问题的策略. 师生在交流中碰撞、借鉴，在借鉴中学习，在碰撞中成长.

新课程倡导过程教学，学生的学习不仅是记忆或理解数学知识，更重要的是学习和体验数学分析问题、解决问题的方法，从而积累从事数学基本活动的经验，提升和发展基本数学素质.

在展示数学过程的教学活动中还应注重数学思想的渗透，尤其是分类讨论的思想要不断加强. 许多漏解都是分类方法不当或分类不完全所致.

例 如图3，在矩形ABCD中，AB=6，BC=2■，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3. 一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E，F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E，F的运动过程中，以EF为边作等边EFG，使EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧. 设运动的时间为t秒（t≥0）.

（1）当等边EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；

（2）在整个运动过程中，设等边EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；

（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由.

其中（2）（3）两题都需要分类，分类不完整极易造成漏解.

问题（2）要引导学生按运动的顺序观察分析并依据重叠部分的形状不同来进行分类. 此问题可分以下四种情况（如图4）逐一讨论. 这里还应注意的是：在E点到达A点之前EFG的大小不变，而点E经过A点后EFG由大变小直到E，F，G三点与点O重合为止.

问题（3）依据等腰三角形的定义可分为三类（如图5）. 每一种情况又要考查点E在到达A点前或后，EG经过点H的情形.

呈现思维过程，一来可以展示分析思考过程中合理的一面；二来可以暴露分析思考过程中存在不足的一面. 在教与学的活动中，锁定思维过程，在方法上查漏补缺.

三、注重反思训练，完善思维品质——思想堵漏

漏解现象还表现在思维定势的影响、解题速度的约束等一些惯性思维上. 解题时对于相近或相似的一些问题所表现出的差别审视不够，解题方法的个性化还显不足等. “数学教育的核心是通过思维的发展促进人的发展. ”解题更是数学思维能力培养的有效途径. 而敏捷性、灵活性、深刻性、独创性和批判性等思维品质又是通过学习者对自身参与的数学活动过程以及活动过程中的表现进行反思和总结而不断形成、发展和完备的. 波利亚的四步解题方案：弄清题意、拟定计划、执行方案、检验回顾，每一步都通过一些问题引导解题者深刻地进行反思. 其中第四阶段的“检验回顾”，本身就是对整个解题过程的反思. “你能检验这个结果吗？你能以不同的方式推动这个结果吗？你能一眼看得出来吗？你能在别的题目中利用这个结果或方法吗？”显然这些建议和问题从本质上说就是对数学反思的具体细化，使之具有较强的操作性. 荷兰著名数学家和数学教育家费赖登塔尔教授指出，“反思是数学思维活动的核心和动力”. 他创造性地提出了“数学化”、“数学反思”、“思辨数学”等概念. 涂荣豹教授也指出：“反思性数学学习，就是通过对数学学习活动过程的反思来进行数学学习，这是一种有效的学习方式. ”于是学习者对数学解题过程及其过程中所涉及的有关材料、信息、思维、结果等学习特征进行反向思考，适时考察自己活动的经历，探究其中的问题和答案，重构自己的理解，激活个人的潜能，完善思维品质尤其显得重要.

例 等腰三角形腰长为2a，其一腰上的高为a，求此等腰三角形的顶角的度数.

对于本题学生得到的答案一般为30°，遗漏了120°这个答案. 这是受思维定势的影响，学生在以前解等腰三角形问题时常画顶角为锐角的三角形来寻求正确的结果，因而解决本题便通过这样的图形来求解，这里没有注意到题目中出现的“高”这个条件. 如何检验这个结论的正确性？需要反思. “本题能否绘制出其他符合条件的图形？”“哪一个条件可能会造成本题出现不同的图形？”等问题是教者引导学生反思解题过程必须提出的问题. 其实，对于“高”这个条件绘出的图形应分“在形内”、“在形外”、“在一边上”三种情况，并逐一探讨其是否符合题意.

在教学中，培养学习者及时反思的习惯，能进一步加强知识、方法尤其是思维结构的建构和完善，以形成敏捷、灵活、深刻、独创和批判的思维品质. 从思维能力的发展出发，杜绝漏解现象的发生.

基于思维发展的有效教学源于对学情的准确分析. 漏解现象一旦发生，教者不要一味地指责，而是要尽可能地帮助学生分析产生漏解的原因：是知识层面还是方法层面，是能力层面还是情态层面等，进而作出有效的指导. 漏解现象一旦发生，教者更要反思自身的教学活动，尤其是反思知识的教学、数学思想方法渗透、思维方式的训练、解题经验的积累、情态方面的培养等方面存在的不足，继而优化教与学活动的设计，进一步促进教学活动的有效开展，定能改变学生时常发生的漏解现象. ■