对角线上的两点带来的精彩

平行四边形的对角线是平行四边形中两条特殊的线段.而在这个特殊线段上的有“特殊意义”的点，总能演绎出许多耐人寻味的“故事”，令人陶醉，你是不是也迫不及待地想领略一番？嗯，不多说了，请欣赏.

一、对角线上的两个动点

例，（2014年・益阳）如图1，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点.如果添加一个条件可使ABE相等于CDF，则添加的条件不能是（）.

A. AE=CF B. BE=DF C. BF=DE D.∠1=∠2

解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD，AB//CD，所以∠ABE=∠CDF.

从“边角边”的角度来讲可以补充的条件是BE=DF因为EF是公共线段，所以BE=DF等价于BF=DE.所以选项B，C都可以使三角形全等.

从“角角边”的角度来讲可以补充的条件不具备.

从“角边角”的角度来讲可以补充的条件是∠l=∠2.所以选项D可以使三角形全等.

综上，选A.

二、对角线上的两个垂足点

例2 如图2.在平行四边形ABCD中.BD是它的一条对角线.过点A，C分别作AEBD，CFBD.E，F为垂足.求证：四边形AFCE是平行四边形，

解析：根据AEBD，CFBD，得AE//CF.只需再利用三角形全等证明AE=CF，问题就能得到证明.

因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD=CB，∠ADE=∠CBF，所以4DE全等于CBF（角角边），所以AE=CF

所以四边形AFCE是平行四边形.

三、对角线一半的两个中点

例3 如图3所示， 平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.E，F分别是OA，OC的中点，求证：四边形DEBF是平行四边形.

解析：要证的四边形与已知的平行四边形有一条公共的对角线BD，这就意味着OD=OB.如果再证明OE=OF，就可以利用对角线互相平分的四边形是平行四边形来完成证明.

因为E，F分别是OA，OC的中点，所以由OA=OC可得OE=OF.所以四边形DEBF是平行四边形.

四、对角线上等线段的两个端点

例4 （2013年・鞍山）如图4，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE.DF=BE，DF//BE.求证：（l）AFD全等于CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形.

解析：（l）利用“边角边”容易证明AFD全等于CEB

（2）由AFD全等于CEB，容易得到AD=CB且AD//CB，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得结论.

五、等角与对角线的两个交点

例5 如图5，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F是对角线AC上的两点，且∠ABE=∠CDF求证：四边形DEBF是平行四边形，

解析：利用平行四边形的性质和已知条件，可以证明ABE全等于CDF（角边角），ADE全等于CBF（边角边）.于是得到BE=DF，DE=BF，从而可证明结论，

六、对角线上两个等角的顶点

例6 （2014年・贺州）如图6，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的两点，∠1=∠2.（1）求证：BE=DF；（2）求证：AF//CE.

解析：（1）如图7，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD，AB//CD.

所以∠4= ∠3.因为∠1=∠2，所以∠AEB=∠CFD，所以ABE全等于CDF（角角边），BE=DF.

（2）由（1）知ABE全等于CDF，所以AE=CF.因为∠1=∠2，所以AE//CF.

所以四边形AECF是平行四边形，AF//CE.

练习：

1.如图8，在平行四边形ABCD中（AB≠BC），直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD.BC于点M，N，分别交BA，DC的延长线于点E，F有下列结论：①AO=BO；②OE=OF；③EAM全等于FCN；④EAO全等于CNO.其中一定正确的是（）. A.①②

B.②③

C.②④

D.③④

参考答案：

1.B