对角线在数学教学中的妙用

【中图分类号】G633.63 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2012）07-0145-01

我们知道，平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线的性质和判定非常重要，下面结合例题认识一下它们的运用：

例1：（如图）已知?荀ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，过点O作AC的垂线，分别交AD、 BC于点E、F，连接CE，求CED的周长。

分析：由?荀ABCD可知对角线AC、BD互相平分，又过O点作AC的垂线，分别交AD、 BC于点E、F，可以得到以A、F、C、E四点为顶点的四边形是菱形，所以CE=AE,进而求出CED的周长

解：四边形ABCD是平行四边形,且周长为20cm

OA=OC ∠EAO=∠COF AD+DC=10cm

在AOE和COF中

∠EAO=∠FCO

OA=OC

∠AOE=∠COF

OE=OF

又 OA=OC EFAC

四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）

CE=AE

CED的周长= CD+DE+CE=CD+DE+EA=AD+CD=10（cm）

总结：本题中首先根据?荀ABCD的对角线互相平分的性质得到OA=OC，再利用EFAC且互相平分的条件得到四边形AFCE是菱形，实现CED的周长=AD+CD转化的。

例2：（如图）已知四边形ABCD中，点E、F是对角线BD上两点，且BE=DF

(1)若四边形AECF是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形。

(2)若四边形AECF是菱形，那么四边形ABCD是菱形吗？为什么？

(3)若四边形AECF是矩形，那么四边形ABCD是矩形吗？为什么？

(4)若四边形AECF是正方形，那么四边形ABCD是正方形吗？为什么？

解：（1）四边形AECF是平行四边形 OA=OC OE=OF（平行四边形对角线互相平分）又BE=DF

OE+BE=OF+FD 即 OB=OD

四边形ABCD是平行四边形

（对角线互相平分的四边形是平行四边形）

（2）四边形AECF是菱形

OA=OC OE=OF ACEF

（菱形对角线互相垂直平分）

又BE=DF

OE+BE=OF+FD 即 OB=OD ACBD

四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是平行四边形）

（3）四边形AECF是矩形

OA=OC OE=OF AC=EF（矩形对角线互相平分且相等）

又BE=DF

OE+BE=OF+FD 即 OB=OD 显然 BD ﹥EF

AC≠BD

四边形ABCD是平行四边形

（对角线互相平分但不相等的四边形是平行四边形）

（4）四边形AECF是正方形

OA=OC=OE=OF ACEF（正方形对角线垂直平分且相等）

又BE=DF

OE+BE=OF+FD 即 OB=OD显然 BD ﹥EF

AC≠BD ACBD

四边形ABCD是菱形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）

这道题目充分利用了平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线的性质和判定，能极大的提高同学们的运用能力，希望同学们认真领会。