第12讲 “开放探索型问题”复习精讲

专题精讲

“探索”型试题一般是指命题中缺少一定的题设条件或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的命题，由此，“探索”型的试题不像传统的解答题或证明题那样，在条件和结论给出的情境中只需进行由因导果或由果导因的求解，从而定格于“条件――推理――结论”这样一个封闭的求解模式之中，而是要我们灵活运用所学知识，依据题设条件大胆地猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索不明确的结论；或由结论去探索未给出的条件；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律.探索型问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强，不仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力，因而备受关注，越来越成为热点和亮点考题.

主要特点：开放型试题的特征很多，如条件的不确定性，它是开放题的前提；结果的多样性，它是开放题的目标：思维的多向性，它是开放题的实质；解答的层次性，它是开放题的表象；过程的探究性，它是开放题的途径：知识的综合性，它是开放题的深化.

基本类型：规律探索型、条件开放型、结论开放型、条件与结论都开放型、解题策略的开放、探索存在型等.

重点题型例析

一。规律探索型

规律探索型试题就是在一定的条件状态下，要求我们去探索发现有关数学对象所具有的规律性的题目.

例1 （2014.娄底）如图1是一组有规律的图案，第1个图案由4个组成，第2个图案由7个组成，第3个图案由10个组成，第4个图案由13个组成，…，则第n（n，为正整数）个图案由____个组成.

分析：仔细观察图形，结合图案每条“边”上的的个数与图形的序列数之间的关系发现图形的变化规律，利用发现的规律求解即可.

解：观察发现：第一个图形有（3x2-3+1）=4（个），第二个图形有（3x3-3+1）=7（个），第三个图形有（3x4-3+1） =10（个），…，第n个图形有[3（n，+l）-3+1] =3n+1（个）.故答案为3 n，+l.

反思：对于找规律的题目应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，图形的变化过程中往往蕴涵着数字变化，所以本题既可从图形的变化过程中寻找规律，也可从图形数字变化过程中寻找规律.

二、条件探索型

条件开放探索题是指结论给定，条件未知或不全，或满足结论的条件不唯一，需探求与结论相对应的条件.解答这类问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求.

例2 （2014.巴中）如图2，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF

（1）请你添加一个条件，使得BEH≌CFH，你添加的条件是____，并证明.

（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？请说明理由.

分析（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当

三、结论探索型

给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性.要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基础知识的应用能力.解决此类问题的一般思路是：从剖析题意人手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想类比、猜测等得到结论.

例3 （2014.淄博）如图3，四边形ABCD中，ACBD交BD于点E，点F，M分别是AB.BC懿中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=A C=BD.连接MF ，NF.

（1）判断BMN的形状，并证明你的结论.

（2）判断MFN与BDC之间的关系，并说明理由.

分析：（1）根据等腰三角形的性质，可得AM是高线、顶角的平分线，根据直角三角形的性质，可得∠EA B+∠EBA =90。，根据三角形外角的性质，可得答案.（2）根据i角形中位线的性质，可得MF与AC的关系：根据等量代换，可得MF与BD的关系；根据等腰直角三角形，可得BM与NM的关系；根据等量代换，可得NM与BC的关系；根据同角的余角相等，可得∠CBD与∠NMF的关系；根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案.

解：（1）BMN是等腰直角三角形，

证明：因AB=AC，点M是BC的中点，故AMBC，AM平分∠BAC.

因ACBD.故∠AEB=90。.

反思：此题考查了用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键，

综上所述，由于“探索”型试题的题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：一是利用特殊值，如特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律；二是假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致；三是分类讨论法，当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果；四是类比猜想法，即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密论证.总之，在具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用.