考虑订货资金约束的扩展报童模型研究

[提要] 针对考虑资金约束的报童模型展开研究，在经典报童模型基础上建立考虑资金约束的报童模型，并给出最优解的求解方法，分析最优解的性质，同时分析资金约束对最优订货量和报童利润的影响，最后给出实例验证模型的合理性和有效性。

关键词：报童模型；资金约束

中图分类号：F27 文献标识码：A

收录日期：2015年6月1日

一、引言

报童模型是随机存贮理论中的经典内容，应用背景十分广泛。生产生活中很多实际问题都可以看作报童问题解决，因此国内外的专家学者都对其进行了广泛而又深入的研究。然而，经典的报童模型在解决实际问题仍然面临一些问题和挑战。在竞争日益激烈的市场环境下零售商在确定订货量时要受到各种实际条件的制约，最常见的制约因素就是资金约束。因此，对报童模型进行扩展研究成为了新的趋势，对考虑资金约束的报童模型进行研究具有一定的实际应用价值。到目前为止在考虑约束条件的报童模型的研究中主要包括：考虑服务水平约束、考虑库存约束、考虑预算资金约束等。苏欣等建立了考虑一般费用约束、商品处理预算费用约束和缺货预算费用约束的三种扩展报童模型并给出了最优解。本文针对考虑订货资金约束的报童模型进行扩展研究，简述考虑订货资金约束的扩展报童模型，给出求解最优解的方法，同时分析最优解的性质。最后以实例分析订货资金约束对最优订货量和报童利润的影响。

二、经典报童模型

在经典的报童模型中，假设每天卖出去的商品数量是随机的，商品的单位进价为w，商品的单位零售价为p，未销售商品的单位残值为s，根据实际情况假设p>w>s，不考虑缺货损失，则报童的利润函数？仔（q，D）为：

？仔（q，D）=pmin（q，D）+s（q-D）+-wq （1）

其中q为订货量，D为市场的随机需求，是随机变量，需求函数的概率密度函数f（x）>0，需求函数的累计分布函数为F（x），且假设F（x）可微、可逆，其逆函数为F-1（・）。则此模型中报童的期望销售量为：

S（q）=E[min（q，D）]=q-■F（x）dx （2）

期望剩余库存为：

I（q）=E[（q-D）+]=q-S（q） （3）

则期望利润为：

∏（q，D）=E[？仔（q，D）]=pS（q）+sI（q）-wq=（p-s）S（q）-（w-s）q （4）

由■=-（p-s）f（q）

三、考虑订货资金约束的扩展报童模型

实际的生产生活中企业的发展经常受到资金因素的影响，并不是需要多少就能订多少，想订多少就能订多少。在经典的报童模型中并没有考虑企业订货资金对最优订货量的影响，而实际问题需要把订货资金的约束考虑进去。假设零售商可用于订货的订货资金为M，则考虑订货资金约束的扩展报童模型为：

max∏（q，D）=max[（p-s）S（q）-（w-s）q] （5）

s.t. q≤■

考虑订货资金约束的扩展报童模型的最优解由定理1给出。

定理1 考虑订货资金约束的扩展报童模型的最优订货量q*M=minq*，■或

q*M=■，■≤q*q*，■>q* （6）

证明 当不考虑订货资金约束时此拓展模型随即退化为经典的报童问题，其最优解q*=F-1■。由于F-1（x）为单调递增函数，所以当■>q*时，所有约束条件都满足，此时最优订货量为q*M=q*；当■≤q*时，约束条件要求最优解满足q*M≤■，因此有q*M≤■≤q*，由于报童期望利润∏（q，D）在区间[0，q*]单调递增，因此当q*M=■时，∏（q，D）去的最大值。综上所述得：q*M=minq*，■。

由定理1可以得到如下两个推论：

推论1 对于考虑订货资金约束的扩展报童问题，当可供使用的订货资金较低时，即■≤F-1■，最优订货量为■，即最优订货量为订货资金所允许的最大订货量；当订货资金充裕时即■>F-1■，最优订货量为传统经典报童模型的订货量，不受有限资金的约束。

推论2 对于考虑订货资金约束的扩展报童问题，当可供使用的订货资金较低时即■≤F-1■，报童的最大期望利润是订货资金的增函数；当订货资金充裕时即■>F-1■，最优订货量不受订货资金的约束，最优订货量为经典报童模型的最优订货量。

四、算例分析

考虑A零售商订购商品，市场的随机需求D服从区间[0，100]上的均匀分布，其他参数如表1所示。（表1）

不考虑订货资金约束和考虑订货资金约束的报童模型计算结果见表2。（表2）

在考虑订货资金约束时，分别取订货资金约束M=385，455，525，700，从表2中可以看出当资金约束小于等于525时，即M=385，455，525，随着订货资金约束的提高，最优订货量增加，且都等于订货资金所允许的订购的最大商品数量，最优利润增加。当M=700时，资金约束不起作用，此时最优订货量和最优期望利润与经典报童模型相同，验证了定理1和推论1、2的正确性。

五、结束语

本文对考虑订货资金约束的扩展报童问题进行研究，建立考虑订货资金约束的扩展报童模型，给出最优解的求解方式，同时分析订货资金约束对最优订货量和最优期望利润的影响，具有一定的实际应用价值。但本文没有把资金的时间价值考虑进去，既是本文的不足之处，也是今后可供研究的方向。

主要参考文献：

[1]Andersson H.A maximum entropy approach to the newsvendor problem with partial information[J].European Journal of Operational Research，2013.228.

[2]柳键，邱国斌，黄健.考虑缺货损失情形下损失厌恶零售商的订货决策[J].控制与决策，2012.27.8.

[3]苏欣，林正华，杨丽.带有预算费用约束的报童模型[J].吉林大学学报（理学版），2004.42.3.

[4]Gurnani H，Tang C S.Optimal ordering decisions with uncertain cost and demand forcast updating[J].Management Sciences，1999.45.10.