动力系统及其中几个重要性质的简介

作者简介：赵业坤（1987-），男，吉林省汪清县人，现就读于吉林师范大学数学学院-研究生，研究所方向：动力系统。

摘要：本文对动力系统这一学科的历史、理论、应用以及其中的回复性、拓扑传递性和混沌性几个重要的概念作一简介。

关键词：动力系统；回复性；拓扑共轭性；混沌

一、动力系统

1.1动力系统是一门有关系统演化规律的数学学科。动力系统的经典背景是常微分方程的解族所确定的整体的流动。这里所说的微分方程的定性理论是指不通过微分方程的显式解而直接研究解的几何和拓扑性质，它是法国大数学家Henri Poincaré［1］在19世纪末为赢得奥斯卡国王的大奖研究三体问题时创立的。Birkhoff［2］在20世纪早期关于拓扑动力系统的公理化为动力系统这一学科建立了大范围的理论框架。动力系统属于基础数学，处于微分方程和拓扑学的一个交汇点。同时，动力系统与物理、力学甚至生物学、经济学密切相关，与工程技术的许多方面互相渗透，动力系统近年来引起了科学技术界乃至社会公众的注意。

1.2动力系统是非线性学科的一个重要组成部分，动力系统即是指由拓扑空间上的连续自映射所生成的迭代系统；给定一个拓扑空间和其上的一个连续自映射，就生成了一个动力系统：

设X为紧致度量空间，

T:XX

为从X到自身的连续映射。

对任意x∈X，令T0(x)=x，T1(x)=T(x)，…，Tn(x)=T（Tn-1(x)），…，则T确定了X上的一个动力系统，我们常称映射T或（X，T）为一个动力系统。

1.3今天的动力系统大致可分为微分动力系统、Hamilton动力系统、拓扑动力系统、无穷维动力系统、复动力系统、遍历论、随机动力系统等方向。其界限并不严格，相互交叉很多。微分动力系统研究一般的可微系统，其发端是60年代初兴起的结构稳定性研究，所谓结构稳定性是说系统的整体拓扑性质在可微扰动下保持不变，这显然是一恢弘的概念，其研究产生了很大的影响，成为现代动力系统诞生的一个标志，目前通用的动力系统研究生教材，就是以这部分内容为主体，结构稳定系统比较理想而少见，大量存在的，是不那么结构稳定的系统，和很不结构稳定的瞬息万变的系统。

1.4以廖山涛教授为代表，我国老一辈数学家在动力系统领域作出了重要的贡献。廖山涛先生从上世纪60年代初即投身于当时初现端倪的微分动力系统领域，是这一领域在世界范围内最早的几位开拓者之一在随后十几年与世界相对隔绝乃至动乱的年代，廖先生在他小小的书斋里，顽强地进行着少见地系统而深刻的数学研究。他的典范方程组和阻碍集两大理论就是在这一期间完成的，为我国数学界一段佳话。这些理论因其独到之处成为今天动力系统中国学派的标志在廖先生和其他老一辈数学家的长期辛勤耕耘栽培下，几十年来我国动力系统的各个分支都有了很大的发展，有了一支相当整齐的研究队伍，尤为可喜的是有才华的年轻人纷纷脱颖而出。我国动力系统学者的研究工作已经走向世界，在国际上有了不可忽视的地位。

1.5动力系统的一些观念产生了远远越出本学科的影响。突出的是近年来深受注意的是从它中得到得一些非常重要有意义的性质，如回复性、拓扑传递性和混沌性。60年代年代初在结构稳定性研究中发现的Smale［3］马蹄揭示，复杂性可以与结构稳定性共存。这一重要发现催生了现代的混沌概念，而混沌性也被广泛的应用！

二、重要的性质

2.1回复性

动力系统的核心问题是研究点的轨道等性质，而只有那些具有某种回复性的点的轨道才是重要的，下面我们将要引进回复性的概念。

设（X，T）为紧致系统。

定义1，对于x∈X，如果存在整数n>0，使得fn(x)=x，则把x叫作f的周期点；并把fn(x)=x成立的最小正整数n叫作它的周期。周期性是最强的回复性，也是最重要的回复性。下面陆续引进的回复性都是周期性的推广。

定义2，对于x∈X，如果存在正整数递增序列ni使得，limi∞fni（x）=x；

或等价地，对任意ε>0,存在n>0，使

fn（x）∈V（x，ε），

这里V（x，ε）是x的半径为ε的球形邻域，则把x叫做f的回复点，f的全体回复点的集合记作R（f），而具有回复性。

2.2拓扑共轭性

设（X，f）和（Y，g）都是紧致系统

定义1，如果存在映上的同胚映射，h：X―>Y，使得

hf=gh

则称f和g拓扑共轭，记作f~g.

命题1：设f~g，则fa~ga，任意的a>0.

证明 设h：X―>Y是从f到g的拓扑共轭。我们有hf2=hff=ghf=g2h，可以归纳地证明

hfa=gah 任意的a>0

即h也是从fa到ga的拓扑共轭。

命题2：设f~g，且h：X―>Y是从f到g的拓扑共轭.又设x∈X。若ni为递增序列，使

limi∞fni（x）=x0∈X

则 limi∞gni(h(x))=y0∈Y且h（x0）=y0.

证明 由命题1，可见

limi∞hfni（x）=limi∞gni(h(x))=h（x0）.

主意到h1：Y―>X是从g到f的拓扑共轭，可直接从定义出发验证，这里从略。

命题3：设f、g、q∈Co（X），则有，

i） f~f

ii） f~g＝>g~f

iii） f~g，g~q＝>f~q

据命题3，拓扑共轭是Co（X）上的一个等价关系，它把Co（X）分成不相交的等价类，同一类的系统彼此拓扑共轭，不同类的系统彼此不拓扑共轭。

2.3混沌

混沌是自然界十分普遍的现象,如墨一滴水在水中扩散的方向、热带风暴的移动路径等。它有区别于经典力学系统,是一种始终限于有限区域、轨道又不重复、性态复杂的运动,具有对初值敏感性、长期不可预测性及分形结构等特点［4］。混沌的研究始于混沌现象的发现，所谓混沌现象就是指动力系统中出现的貌似不规则的运动，它的发现可以追溯到Poincaré关于天体力学的研究工作。然而，在相当长的时期内，没有人明确地指出什么叫混沌。直到1975年，美籍华人李天岩与其导师York在一篇题为《Period three implies chaos》的论文中才第一次用严格的数学语言给“混沌”下了定义。此后，仅对映射系统而言就有许多对混沌的不同描述出现在学术期刊或专著中。本文除了介绍Li-Yorke混沌外，还有就是最常见的狄万内（R.L.Devaney）混沌。

定义1，设f是度量空间（X，d）到自身的连续映射，x，y∈X。如果满足：

limn∞infd(fn(x),fn(y))=0

limn∞supd(fn(x),fn(y))>0

则称x，y为f的Li-Yorke对；如果f有一个由不可数多点构成的Li-Yorke混沌集，则称它为Li-Yorke混沌。

除了李-约克意义下的混沌之外，尚有多种混沌的定义。其中最常见的是狄万内（R.L.Devaney）混沌。

设（X，f）为紧致系统。

如果存在δ>0，使得对每一点x∈X和x的任意邻域∪x存在y∈∪x和n>0，满足：

d（fn（x），fn(y)）>δ,

则称f对初值敏感依赖，δ称为敏感常数。

定义2，如果下述三个条件得到满足，

i） f是拓扑传递的；

ii） f的周期点在X内处处稠密；

iii） f对初值敏感依赖，

则称f在狄万内意义下是混沌的，即称它是狄万内混沌。

在这个定义中，i表示狄万内混沌系统不能分解两成两个子系统的和；ii说明没有周期点的系统都不是狄万内混沌；iii说明系统是不可预测的。

自上世纪90年代以来,混沌学科与其他学科相互渗透,无论是在数学、物理学、生命科学、地球科学、信息科学,还是在经济学、天文学等领域,混沌均得到了广泛应用［5］。(吉林师范大学数学学院；吉林；四平；136000)

参考文献

［1］ J.Palis,On the c1-stability conjecture,Publ.Math.IHES,66(1988)211～215.

［2］ D.Birkhoff.Dynamical systems,Amer.Math.Soc.,1991.

［3］ 张景中，杨路，Smale马蹄模型，《科学通报》，26：:12（1981）,713-714

［4］ 王海燕，户山.非线性时间序列分析及其应用［M］.北京科学技术出版社，2007.

［5］ 吕金虎，陆君安，陈士华.混沌时间序列分析及其应用［M］.武汉：武汉大学出版社，2001.