在断层处架起通途

当前，数学教材是按照九年为一个阶段进行编排，不同年龄段的学习内容都是上下联系、前后呼应的。但是，由于很多小学教师缺乏整体思维，只关注自己所教的教材内容，很少考虑现在学习的内容对初中学习具有什么作用，使得小学与初中之间在数学教学上存在严重的断层。许多小学生升入中学后，在进一步学习数学过程中总会遇到衔接不畅的障碍。那么，如何在中小学衔接中实现学生学习数学的顺利过渡呢？

用整体视野把握内容

课程标准下的初中数学教材相对于小学数学教材而言，在学习内容上，有由数到式、由常量到变量、由形象到抽象的变化，小学一部分内容也转移到初中阶段学习；在教学要求上，有从侧重感性认识向侧重理性认识的过渡；而初中教材在知识、结构编排体系与小学教材也有了很大的区别，这些客观上造成了部分学生学习的困难。

把握衔接的点：数学模型 在数与代数领域，中小学数学教学内容的衔接主要表现为由算术数到有理数、实数，由算术运算到代数运算。前者的衔接环节是负数的初步认识，后者的衔接环节是用字母表示数。即非负有理数——初步认识负数——有理数，数的运算——用字母表示数——式的运算。对于运算律的学习来说，在第一学段，结合现实背景，只是让学生初步体会加法或乘法交换律的思想，没有必要告诉他们所谓加法或乘法的交换律是什么。到了第二学段，正式学习基本运算律。但基本运算率并不是为了简便运算，而是因为基本运算律是运算固有的性质。到第三学段，将运算律很好地运用到合并同类项、因式分解、列方程解应用题、公式推导等方面。小学数学中的法则、定律、公式等都是一个个数学模型，如何使学生通过建模形成数学模型？其中一条很重要的途径就是把生活原型上升为数学模型。在运算律的衔接过程中，要立足模型这一核心点的把握，对运算律的学习型内涵的理解到符号的表达到模型的表达的不断建构与抽象过程中。

拨动衔接的弦：类比思想 也可以从类比的视角将中小学该领域主要内容的发展，概括为由“数”到“式”。事实上，教学中有很多地方可以进行类比。如：整数与整式的类比，整数分解（分解质因数）与因式分解的类比，整数运算与整式运算的类比，还有分数与分式的类比，分数运算与分式运算的类比等。同样，进行运算律的教学时，不仅关注数域的拓展，还要关注模式的延伸，关注运算律运用的综合。经常有一些初中教师抱怨学生在小学阶段的数学基础打得不牢固，影响了初中数学的学习，原因就在于此。因此，中小学数学教学的衔接理应得到足够的重视。笔者认为，小学数学教师应从整体上熟悉义务教育阶段数学教材体系，了解中小学教材在内容、知识、技能之间的联系，这样在实施教学上才会有全局的思想；小学数学教师要注重思维方法的渗透，为后续学习做好准备；教师要有强烈的建构整合意识，在学生获得一种新的知识以后，教师应该及时引导学生联系旧知，把新知识纳入到相同原理的旧知识体系，形成新的知识结构，有利于学生建立稳固的数学思维模式或认知结构。

领悟衔接的魂：内化认知 学生在小学里只学过算术数（整数、分数、小数），这些数都是从客观现实中得出来的，进入初中后，引进了新的数负数0（新课标在第二学段也引入了负数的意义），把数的范围扩充到有理数域，数的运算也相应地由加、减、乘、除四则运算又引进了乘方、开方运算，实现了由局部到全局的飞跃，这次过渡，负数的引入是关键，这就要求教师必须讲清有理数的特点。为了搞好知识间的过渡，一要淡化概念，如讲代数式的概念时，先让学生认识各种形式的代数式，再去归纳代数式的概念；二要务必使学生熟练掌握算术的四则运算，再弄懂符号法则，有理数的运算即可轻而易举过关。与小学内容相比，初中数学的内容更多、更深、更广、抽象概念相对较多，初中数学论证的严密性和叙述的完整性、知识的系统性和综合性都给部分学生的继续学习增加了一定的困难。教学时，要力求与小学的相关知识联系类比，以唤起学生对旧知的回忆，在知识的类比、迁移与衔接中生成新知。

《乘法分配律》教学片断

以下是小学四年级数学《乘法分配律》的教学片断：

师：在搭配的买衣服的过程中，我们得到了3个等式。观察这3个等式，每个等式都有几个数组合而成？

生：3个数。

师：通过观察这几道等式从左边到右边，你能发现什么规律吗？

（在验证中得出规律）

师：同学们，你们发现了什么，我能猜到。不过，你们所看到的也许只是一种偶然现象，是一种猜想而已。你们能再举一些例子来对自己的猜想进行验证吗？

（学生举例，要关注学生举例的方式是否恰当。）

师：（指名两组汇报，并进行板书）同学们想说的很多，这样的例子能举得完吗？（再进行板书）

师：从同学们所举的大量例子中，可以确定你们的发现是正确的。同学们，刚才我们通过举例同样验证了怎样的规律呢？

生：乘法分配律。

师：你会用自己喜欢的方法表示出乘法分配律吗？

事实上，初中阶段的一些数学内容也有需要运用乘法分配律来习得的。其一，乘法分配律在合并同类项中的应用。合并同类项是新人教版数学七年级上册第二章整式中的一节内容。同类项既包括了七年级中的单项式还包括了还面将要学到的分式和二次根式，所以合并同类项这一方法贯穿于整个初中数学计算，学好合并同类项是初中数学计算的一个关键。其二，乘法分配律在因式分解中的应用。因式分解是新人教版数学八年级上册第五章整式的乘除与因式分解中的一节内容。因式分解有两个重要步骤：一是提公因式法，二是公式法。而提公因式法就应用了乘法分配律。教材166页例1：把8a3b2+12ab3c分解因式。解：8a3b2+12ab3c=4ab2×2a2+4ab2×3bc=4ab2（2a2+3bc）。在这里是对乘法分配律的逆向使用，在有些计算中，要把乘法分配律正向使用。

用立体视线拓展思维

数学建模就是要把现实生活中具体实体内所包含的数学知识、数学规律抽象出来，构成数学模型，并根据数学规律进行推理求解，得出数学上的结论，返回解释验证，以求得实际问题的合理解决。

置情于境中悟本 在乘法分配律的教学中，教师不是仅仅停留在具体例子中的抽象，而是着眼于一种思想方法。第一，解读信息，深刻分解实际问题的背景，挖掘实际问题的内在规律，明确所求结论和对所求结论的限制条件。第二，简化信息，根据实际问题的特征和建模的目的，对问题进行必要简化。抓住主要因素，抛弃次要因素，根据数量关系，联系数学知识和方法，用精确的语言作出假设。第三，抽象成数学问题，将已知条件与所求问题联系起来，将文字语言翻译成数学语言，将生活问题抽象成数学问题。

推理归纳中建构 一是加强意义理解，在整数、小数和分数范围内，不断用加法和乘法的意义诠释乘法分配律的意义。二是提供知识原型，学生往往都以此公式为证、为记。三是渗透思想方法，让学生运用所学知识，观察、分析、测量、讨论、建模、解决实际问题，使学生能够透过纷繁复杂的现象抽象、概括其本质，尝试将具体问题转化为数学模型，建立了一个问题解决的数学模型，形成数学建模思想。

抽象概括中迁移 教材中乘法分配律应用到小数、分数计算是和交换律、结合律同步的，都是通过一个关于分配律的教学例题整体迁移。一是完善意义，用整数的意义诠释乘法分配律并没有多少障碍，但还需利用小数、分数的意义还要对乘法分配律进行多角度的诠释。二拓展范围，所以在第二、第三学段的教学中要不断完善字母所表示数（或者算式）的范围，同时还要指引学生认识到随着“数”的认知范围的扩大，乘法分配律的应用也更加广泛。

综合应用中拓展 在拓展中寻求多样应用。教学中，笔者第一次面对类似方程“X+3X=180”时，学生对“1个X加3个X等于4个X”并不能完全理解，原来学生不会用乘法分配律的规律思考问题。由此可见，学生们不能停留在对分配律意义的理解上，要学会在复杂的题型中寻求乘法分配律的基本模型并适时应用。

小学和中学教学方法是有差异的，要求也不相同。小学数学知识都比较具体、直接，形象思维较强，逻辑思维、抽象思维、概括能力相对较弱，进入中学后，数学知识从横向和纵向两方面扩展，呈螺旋式上升，变化十分明显，新知识的增加引发的知识维度变化、视野扩展、思维方式改变等。因此，要立足儿童生命成长的视野，关照中小学衔接教育，通过衔接让师与生、教与学双双提前进行全方位、多层次相互了解、相互适应，把“突变”变成“渐变”，由“渐变”变成“渐长”，在“渐变”与“渐长”中顺利完成小学升初中的衔接过渡，让小学与初中教师提前“立体”地认识和了解教育主体，系统地了解课程的体系，中小学的衔接不仅是知识上的衔接，还需要思想上的衔接、经验上的衔接。不断积累自己的经验，丰富自己的数学素养。避免中小学数学教育的断层，为学生的终身学习奠定基础。

（作者单位：江苏省常州市武进区星河小学）