张角定理在平面几何中的应用

江苏泰州实验学校 225300

摘要：由面积原理推导出的张角定理在平面几何中有着极其广泛的应用. 本文现分类举例说明，以供初中数学教师阅读时参考.

关键词：张角定理；应用

[⇩]张角定理

已知由点P发出的三条射线PA，PB，PC，且∠APC=α，∠CPB=β，∠APB=α+β＜180°，那么A，B，C三点在一直线上的充分必要条件是=+.

证明如图1，如果A，B，C三点共线，那么PAB=PAC+PCB. 所以PA・PB・sin（α+β）=PA・PC・sinα+PB・PC・sinβ. 两边同时除以PA・PB・PC，即得所要证的等式.

[α][β][P][A][C][B]

图1

反之，如果命题中等式成立，那么反推可得PAB=PAC+PCB，这说明ABC=PAB-PAC-PCB=0，故A，B，C三点共线.

[⇩]定理的应用

1. 证线段相等

例1如图2，以O的直径AB为一边作等边三角形ABC，同时将另一侧的半圆三等分，其分点为M，N，连结CM，CN分别交AB于点D，E. 求证：AD=DE=EB.

证明如图2，连结AM，OM，则以A为视点，对C，D，M用张角定理，得

=+.

所以AD=.

[C][A][D][O][E][B][M][N]

图2

设O的半径为R，则AD==R.

由图形的对称性知BE=R.

所以DE=2R-R-R=R.

故AD=DE=EB.

2. 证线段的和差关系

例2在正五边形ABCDE中，AC交BE于点F，求证：AC=AB+BF.

证明如图3，以B为视点，对A，F，C用张角定理，得=+. 设AB=BC=k（k>0），则BF=k.

所以AB+BF=k+k

=k

=k=2kcosα.

而在ABC中，由正弦定理，得AC==k=k=2kcosα. 故AC=AB+BF.

3. 证复杂比例式

例3在ABC中，∠A的平分线为AD，求证：AD2=AB・AC-BD・DC.

证明如图4，以A为视点，对B，D，C用张角定理，得

=+，

所以AD=.

在BDA和ADC中，由余弦定理，得

BD2=c21-

cos2α，

DC2=b21-

cos2α.

所以BD・DC=bc1-

cos2α. 故AB・AC-BD・DC=cos2α=AD2.

4. 证线段倒数的和差关系

例4已知四边形ABCD两对对边的延长线分别交于点K，L，过点K，L作直线，对角线AC，DB的延长线分别交直线KL于点G，F. 求证：+=.

[D][A][K][F][L][G][C][B][α][β]

图5

证明如图5，设KA=a，KB=b，KC=c，KD=d，KF=f，KG=g，KL＝l，则以K为视点，分别对A，B，L；D，C，L；D，B，F及A，C，G用张角定理，得

=+，①

=+，②

=+，③

=+. ④

所以①+②-③-④，得

--=0.

所以+=，即+=.

5. 证三点共线

例5如图6，在O内，直径AB半径OC，O′与OB，OC相切于点D，E，并与O内切于点F，求证：A，E，F三点共线.

[A][O][O′][D][B][F][E][C]

图6

证明设OD＝O′D=O′E=r，则OO′=r，且∠O′OD=45°，O，O′，F三点共线. 再设OA=OF=R.

因为OO′=R-r=r，

所以r==（-1）R.

所以==.

所以=+.

由张角定理知A，E，F三点共线.

6. 证三线共点

例6在ABC中，自B，C分别向∠A的外角平分线作垂线，得垂足M，N，求证：BN，CM与∠A的内角平分线共点.

证明如图7，设CM与∠A的内角平分线交于K点，则以A为视点，对C，K，M用张角定理得

=+，

即=+.①

同理，设BN与∠A的内角平分线交于K′点，则以A为视点，对B，K′，N用张角定理，得

=+.②

因为AM=ABsinα，AN=ACsinα，故将其分别代入①②得

=+=.

所以AK=AK′，故K与K′点重合. 因此BN，CM与∠A的内角平分线共点.

综上所述可知：应用张角定理证明几何题时，关键在于根据题设，寻找与结论有关的线段所在的三角形，找准视点，利用张角定理写出关系式：

=+，

再结合正弦、余弦定理，三角函数的定义和三角形的面积公式S=bcsinA，……通过变形化简，消去无用的参数即可.

该方法简捷明快，富有规律，而且不添或少添辅助线，符合新课程改革关于“拓宽视野、注重科研、探究应用”的理念要求，故笔者认为，在今后的教学过程中，对这类专题有必要引起重视.

教学实践表明，研究几何定理，对于帮助学生理解课本内容，提高分析问题和解决问题的能力，启迪思维、勤于探究、掌握“双基”、感悟数学思想均有益处. 另外，这样的专题研究，对于培养学生的探索精神和创新意识将会起到积极的推动作用. 因而，随着教育的不断现代化，引导学生探究几何定理的应用，体现数学研究的潜能是十分重要的.

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