紧扣“数学化”,培养学生“数学地思考”

摘 要：将问题进行“数学化”是数学思考的前提. 在本文中，笔者从情景引入、知识生成、思维诱导及方法提炼四个层面，谈谈如何紧扣“数学化”，培养学生“数学地思考”的能力.

关键词：数学化；数学地思考；情景引入；知识生成；思维诱导；方法提炼

由全国中小学教师继续教育数学专业教材《数学教学理论选讲》可知：人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织，以发现其规律，这个过程就是数学化. 《新课程标准》指出: 学生学会数学地思考问题，用数学的方法理解和解释实际问题，能从现实的情境中看出数学问题，这是数学素养的重要标志. 学生将来会遇到不同的挑战，一些人需要学习或研究更多的数学，对他们而言，是否能够数学地思考非常重要；一些人（他们是学生中的绝大多数）就业以后根本不需要解纯粹的数学题（除了参加数学考试），对他们而言，数学是一种需要，但更多的或许是需要“数学地思考”. 因此，培养学生“数学地思考”非常重要. 而《新课程标准》又强调：将问题进行“数学化”是数学思考的前提，是学生学习数学的重要内容. 事实也证明，只有通过“数学化”的途径进行数学的教与学，才能使学生真正获得富有生命力的数学知识，并理解、应用这些知识. 因此，笔者在教学实践中主要从以下四个层面紧扣“数学化”，培养学生“数学地思考”.

情景引入“数学化” ―― 激发“数学地思考”

教育心理学的理论启示我们，在课堂教学中，应该充分运用动机原理，使学生的学习具有内驱力，学习将会取得良好的效果. 激起学生学习数学内驱力的有效方法就是结合教学实际，恰当地创设数学问题情境，引发学生的认知冲突或让学生置身于渴望解决问题的情境中.

案例1：北师大版七年级（上）“字母能表示什么”的问题情境――数青蛙.

①1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿，1声“扑通”跳下水；

②2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿，2声“扑通”跳下水；

③3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿，3声“扑通”跳下水；

……

“谁能将这首歌继续唱下去？里面隐含着怎样的数量关系？” 学生都迫不及待地思考起来.

为了帮助学生探寻出儿歌中隐含的数量关系，指导学生思考：当有n只青蛙时，就有张嘴，只眼睛，?摇条腿， 声“扑通”跳下水.

通过创设既符合学生的年龄特点，又以学生的现实生活为背景、富有挑战性的数学情境（儿歌）和“数学化”地处理，不但能激发学生学习数学的兴趣，而且学生会主动思考，不断地更新思维，循序渐进地去思索，试探出一个又一个的结论. 实践证明，情景引入“数学化”，对激发学生“数学地思考”是极有帮助的.

知识生成“数学化”―― 引导“数学地思考”

教学的目的不仅是让学生获取结论，更重要的是让他们在获得结论的同时，情操得到陶冶，智力得到开发，潜能得到发掘，能力得到培养，素质得到提高，而学生的这一认识过程是教师无法代劳的. 引导学生积极、主动探索知识的形成过程，不仅可以激发学生探究新知识的兴趣，而且使学生学得更主动，同时加深对知识的理解，有利于培养学生思维的灵活性和创造性. 因此，笔者在教学中尽可能地向学生展示数学知识的形成过程.

案例2：新人教版七年级（下）“多边形内角和”.

笔者引导学生把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题（图①），学生从图形所显示的变化规律中较容易找出n边形的内角和. 但为了更进一步培养学生“数学地思考”的能力，在图①的基础上再引导学生将探究结果整理为表格形式（表①），并从中观察、发现规律，让学生把对图形规律的感性认识通过数的规律性体现上升到理性认识，归纳出n边形的内角和的公式.

图①

表①

在这一活动中，学生不但可以深刻地知道n边形内角和公式：（n－2）×180°的推导过程，而且经历了一次从未知到已知，从特殊归纳出一般的过程体验. 事实证明，通过这样“数学化”处理，不但让学生明白这一结论的生成，而且在这样学习新知识的过程中达到引导学生“数学地思考”的目的.

思维诱导“数学化” ―― 促进“数学地思考”

学生的思维发展是一个由低级到高级的渐进过程，教师要善于搭建平台，遵循“最近发展区”的原则，巧妙地设置坡度适中的阶梯式问题，引领学生积极参与，让学生沿着一个个台阶自然地登上解决问题的顶峰，使其思维和能力的发展渐渐地提升到一个又一个的制高点，并切身感受到学习数学的乐趣. 而“数学地思考”是培养学生思维的敏捷性、灵活性、深刻性等优秀品质的有效途径. 因此，进行思维诱导“数学化”对促进学生“数学地思考”非常重要.

案例3：北师大版七年级（上）“字母能表示什么”例题（用火柴棒搭正方形）.

由于此例题是一个既具有一定趣味性又具有一定挑战性的实际问题，问题（1）（2）可以用实际操作完成，可不用“数学地思考”，问题（3）也可用实际操作完成但很有难度，应引导学生“数学地思考”，问题（4）只能用“数学地思考”才能解决问题. 因此，让学生通过动手操作、填表把含有4个问题的实际问题转化为纯数学问题（表②第一、二行），并让学生思考以下三个问题：

（1）火柴棒根数与正方形个数之间有怎样的数量关系？

（2）搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒？

（3）搭n个这样的正方形需要多少根火柴棒？

学生观察、分析后发现：火柴棒根数是一系列不连续的数，当正方形的个数每增加1时，所需的火柴棒的根数就相应增加3，所以火柴棒根数可以改写成表②第三行的形式. 再引导学生观察第三行与第一行之间的数量关系，学生可归纳出：搭100个这样的正方形需要4+3×（100-1）=301根火柴棒. 最后，引导学生利用字母代替数的思想，把问题由特殊推广到一般，建立数学模型，即搭n个正方形需要4+3（n-1）根火柴棒.

通过这样的思维诱导，不但让学生明白解决此类问题的思维方法，而且达到促进学生“数学地思考”的目的.

方法提炼“数学化” ―― 形成“数学地思考”

数学方法凌驾于数学解题技巧之上，起指导或策略性的作用，因此，教学中要适时恰当地对数学方法给予提炼和概括，让学生有明确的印象. 由于数学方法分散在各个不同部分，而同一问题又可以用不同的数学方法来解决，因此，教师的概括、分析就显得十分重要. 在平时的教学中，教师还要有意识地培养学生自我提炼、概括数学方法的能力，这样才能把数学方法的教学落在实处，才能让学生真正形成“数学地思考” .

案例4：九年级中考分类复习“图形与变换”操作题：如图②，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用两种方法分别在图②的其他方格内涂黑二个小正方形，使涂色部分成为轴对称图形.

对学生来讲，这是一个不难的操作题，采用直觉思维就较容易地设计出两种方案. 但若教师进一步提出：你能用两种以上的方法解决吗？你是怎么想出来的？学生未必能说出，更不用说用“数学化”的观点提炼出具体的解决方法.

基于此，笔者从3个方面引导学生思考并得出：（1）把这个图形填涂成轴对称图形的关键在于找出合适的对称轴；（2）把这个直角图形拓宽为一个正方形，再根据正方形的对称轴有如图③所示共4条，再进行思考；（3）根据轴对称图形的定义，经分类讨论后，共有如图④、图⑤、图⑥、图⑦所示的四种正确的填涂方法.

通过这样深入地剖析，提炼出数学方法，不但达到了让学生真正掌握解决问题的方法这一目的，而且达到了形成“数学地思考”的目的.

以上只是笔者紧扣“数学化”，培养学生“数学地思考”的一些看法，若有不妥之处，恳请同行不吝赐教并指正. 笔者知道这是一件任重而道远的事情，需要我们不断思考、创新，相互交流，共同进步.

本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文