利用椭圆的定义设计一类张角有关问题

摘 要： 椭圆的定义为：椭圆上任一点P到两焦点的距离和为定值2a，即：|PF|+|PF|=2a，这个定义在求解一些与椭圆上点有关的命题时作用显著.作者结合这一特点，着重讨论与张角∠FPF有关的一些问题，展现了余弦定理与椭圆的定义的综合应用.

关键词： 椭圆 定义 张角 焦点 余弦定理

高中椭圆教学中，我们常会讨论与椭圆上点有关的问题，这时常会想到椭圆的定义.椭圆也是图形，有时通过图形的几何性质我们能很快地将问题求解，椭圆的定义应用很多，本文着重讨论某类张角的有关问题，并以其为基础进行题型的设置.

问题一：已知F、F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PFPF.若PFF的面积为9，则b＝ .

解析：设|PF|=m，|PF|=n，则由椭圆定义及勾股定理得：m+n=2am+n=4c

2mn=（m+n）-（m+n）=4a-4c=4b（其中b=a-c）

S＝mn＝b＝9

b＝3

本题巧用椭圆定义及直角三角形的勾股定理得到m，n的关系式，然后通过配方恰好发现三角形PFF的面积可用b表示，从而达到求b的目的.

（变式1）上题中若把条件“PFPF”更改为“∠FPF=”又作何解？

解析：设|PF|=m，|PF|=n，则由椭圆定义得：m+n=2a，

又在FPF中，由余弦定理得4c=m+n-2mncos=（m+n）-3mn=4a-3mn.

3mn=4a-4c=4b

S=mnsin=mn=b

S=9

b=3

细想一下，其实勾股定理只是余弦定理的特殊情况而已，利用上述方法即可设计一些与之有关的题型，如：

1.点P在椭圆C：+=1上，F，F是椭圆C的两个焦点，若∠FPF=，（1）求S;（2）求点Ｐ的坐标.

2.已知椭圆C：+=1，F，F分别是椭圆C的左，右焦点，过椭圆右焦点F作x轴的垂线与椭圆交于两点A，B，若FAB为等边三角形，求椭圆C的方程.

问题二：已知椭圆+=1（a＞b＞0），设Q是椭圆上任意一点，F，F分别是左、右焦点，求点P在何处时，∠FQF最大.

解析：设|FQ|=r，|FQ|=r，∠FQF=θ

r+r=2a，又|FF|=2c

cosθ===-1≥-1=-1

当且仅当r=r时，cosθ取最小值-1.点P在椭圆的短轴端点时，∠FQF最大.

此外，当点P在长轴端点时，∠FQF=0，则当点P从短轴端点沿着椭圆向长轴端点处移动时，∠FQF的变化情况又如何？

由上解得：r=2a-r，cosθ=-1=-1=-1，（a-c≤r≤a+c）

由复合函数性质可得：

r∈（a-c，a）时，θ随r的增大而增大；

r∈（a，a+c）时，θ随r的增大而减小.

r=a时，P在短轴端点处，此时θ最大；

r=a±c时，P在长轴端点处，此时θ最小为0.

故产生如下结论：当点P从短轴端点沿着椭圆向长轴端点处移动时∠FQF越来越小.

P在短轴端点处，此时θ最大；P在长轴端点处，此时θ最小.

下面根据上述结论即可设计如下一些题型.（以下例题中的F，F分别为对应椭圆的左右焦点；a＞b＞0）

1.若椭圆C的方程是+=1，点M在C上，求∠FMF的最大值.

解：由上述结论可得，当点M在短轴端点处时，∠FMF最大.

此时cos∠OMF==

∠FMF=2∠OMF=60°（O为坐标原点）

2.已知椭圆C的方程+=1，若存在曲线C上一点P使得∠FPF=，求椭圆离心率e的范围.

解析：此题可从最大角入手，P在短轴端点处∠FPF最大，此时sin∠OPF=≥sin=.

3.椭圆C中以线段FF为直径作圆O，若圆O与椭圆C有交点，求椭圆Ｃ的离心率e的取值范围.

解析：本题中看似和椭圆上一点与两焦点形成的张角无关，可仔细思量后却是柳暗花明又一村.可先设圆与椭圆交点为P，从条件中分析出点P不仅在圆O上，而且在椭圆上.由点P在圆上得∠FPF=，故本题可转化为椭圆C上存在一点使∠FPF=，以下即≤e＜1.