借成语中的智慧为数学思想“画龙点睛”(下)

很多成语与典故中的智慧,与数学思想在解题策略中运用有着相同的灵犀,发现与捡拾两者具同构特征的智慧,让我们进入品味数学与鉴赏智慧的境界；尤其在数学解题一筹莫展之际,可凿壁借光汉文化的智慧,来为学生开启数学解题思路.

13 借尸还魂(数形结合思想和问题转化意识)

题13 如图13，已知等边ABC的边长为1,在内角∠ABC和外角∠CAI的内部分别作∠PBC=∠CAH=α,点P是所作两角边在ABC外角内的交点,PB与AC边交于点E,AP与BC的延长线交于点H.当α变化时,令变量BE=x,变量BP=y,试证：y=1[]x,并分别注明变量x、y的取值范围．

探究 巧借特定之“形”,还欲求数量关系之“魂”．

依∠PBC=∠CAH=α,知点P、A、B、C共圆,得∠APB=60°.易得BPA∽BAEBPBA=BABEy1=1xy=1[]x；注意到α=30°时,BE＝3[]2最小,所以3[]2≤x＜1,对应有1＜y≤23[]3．

如果说上例是以“形”谋“数”,则下例便是借“数”求“形”：

题14 设a取某一固定的正数,x在实数范围随意取值,已知x2-6ax+10a2

+x2+2ax+5a2的最小值为10,求a和x的值．

探究 因已知之式可化为(x-3a)2+a2+(x+a)2+(2a)2,联想到直角三角形、勾股定理……可构图（图14）：在平面直角坐标系中,取A(3a,a)、B(-a,-2a)、C(x,0),显现式的几何意义：AC+BC=(x-3a)2+a2+(x+a)2+(2a)2.

当点C移至C0(5[]3a,0)时,AC与BC共线,AC+BC=AB=

(a+3a)2+(a+2a)2=5a=10最短.于是a=2,x=5[]3a=10[]3．

14 关门捉贼(转化思想和问题优化意识)

题15 如图15，在等腰ABC中,AB=AC=5,点E在边BC上,且有BC=8,EC=2,试求在ABC的高AH上取一点O,使得直线OF将等腰ABC的面积平分,求AO的长．

探究 需将已知条件通过转化、迁移到与问题求索密切关联的区域,形成对问题的包围之势.只要连接AE,过点H作FH∥AE,得到梯形FHEA,从而有SEHO=SAFOSBEF=SAHC=S四边形ECAF=1[]2SABC.显见BH=1[]2BC=4,AH=1[]2AB2-BH2=3.由FH∥AEBHHE=BFFAFA=5[]3；令AO=y,由SEHO=SAFO1[]2×EH×OH=1[]2×AF×AO×sin∠BAH1[]2×2(3-y)=1[]2×5[]3×y×4[]5AO=y=9[]5．

可见求得FA是条件的转化、迁移,构造梯形FHEA起到“关门”好“捉贼”的效果．

15 顺手牵羊 (函数、不等式、方程思想和问题的探究意识)

题16 如图16，已知抛物线y=ax2+bx+c在直角坐标系中的位置情况.

(1)判别a,b,c的正负号；

(2)判别大小：①b与a+c；②4a+2b+c与0；③2c与3b；④a+b与m(am+b)(m≠1)；

(3)若RtOBC≌RtAOD,试证：a3-a+1=0.

探究 (1)由抛物线开口方向、对称轴和A(0,c)位置得出：a＜0,b＞0,c＞0；

(2)根据特殊点：①因x=-1对应的y值为负b＞a+c；②由对称性知[JB(｜]BD[JB)｜]＞[JB(｜]OB[JB)｜]xD＞2y=a•22+2b+c=4a+2b+c＞0；③由对称轴方程x=1知b=-2a和b＞a+c2c＜3b；④根据图像,知x=1时,y有最大值y=a•12+1•b+c＞a•m2+mb+ca+b＞m(am+b)(m≠1)；

(3)RtOBC≌RtAOD[JB(｜]OA[JB)｜]=[JB(｜]OB[JB)｜]=1c=yA=1且yC=a•12+1•b+c=xDxD

=a+b+1且b=-2axD=1-a；由对称性知xE=1+a；最后xD•xE=c[]a(1-a)(1+a)

=1[]aa3-a+1=0．

可见具备函数、方程、不等式思想的数学探究,数学观点灵活,数学视角深入、开阔.“顺手牵羊”就是不断地积累各种细微的发现,认识的“根据地”逐渐拓展,通过探究中发现“量”的积累,为获得更有价值的结论创造条件．

16 物以类聚(分类讨论思想和问题思考的有序意识)

题17 如图17，网格出现两个阴影部分表示空缺,试问网格里共包含多少个不同的矩形．

探究 采用分类讨论的方法：记“m×n”表示横长为m个单位、纵宽为n个单位的矩形．

“1×1”的矩形有12个；“2×1”的矩形有6个；“2×2”的矩形有2个；“3×1”的矩形有3个；“3×2”的矩形有1个；“1×2”的矩形有6个；“1×3”的矩形有3个.于是共有：12+6+2+3+1+6+3=35个不同的矩形．

抓住对象的数学特征并赋予标记,从而明确复杂问题分类处理的标准与方法,本题采用定“横”变“纵”的方法,使解题思路清晰有序．

17 它山之石可以攻玉(类比思想与合情推理)

题18 如图18，在直角三角形ABC中,∠C=90°,CD是斜边AB上的高,O1、O2、O3和O1′、O2′、O3′分别ACD、BCD、ABC的外接圆和内切圆,令R1、R2、R3和r1、r2、r3分别是它们的外接圆和内切圆半径,试猜想和论证R1、R2、R3和r1、r2、r3三者之间的数量关系．

探究 类比RtABC有AC2+BC2=AB2,猜想：R21+R22=R23(1)；r21+r22=r23(2).证明如下：

由AC2+BC2=AB2,AC=2R1,BC=2R2,AB=2R3

R21+R22=R23(1)；

由ACD∽CBD∽ABC,知各直角三角形的斜边与它的内切圆的半径比固定,可设

AC[]r1=BC[]r2=AB[]r3=kAC=kr1,BC=kr2,AB=kr3,代入AC2+BC2=AB2式中

r21+r22=r23(2)．

依据事物间相似或相同特征,以类比、猜想的形式做合情推理,这是很重要的数学思维,能从智慧的经验中获得灵感,为逻辑推理锁定了方向．

18 调虎离山 (转化思想和解题的策略意识)

题19 用［x］分别表示不大于实数x的最大整数,令{x}=x－［x］,如［3.14］=3,{3.14}=0.14,［-3.14］=-4,{-3.14}=0.86.试解方程：{x}2+［x］2=-4{x}+8．

探究 {x}2+［x］2=-4{x}+8{x}2+4{x}+4=12-［x］2

[JB((]{x}+2[JB))]2=12-［x］2,因0≤{x}＜1,所以4≤12-［x］2＜93＜［x］2≤8［x］=2．于是{x}2+4=-4{x}+8{x}=-2±22,因0≤{x}＜1,于是{x}=22-2,

x={x}+［x］=22．

象分析［x］、{x}多个不定因素时,宜采用分身术,用数学手段“调虎离山”,造设分析单个因素清晰、明朗的条件,各个击破．

19 笑里藏刀与反间计 (方程、函数、讨论思想和问题的隐含性)

题20 问x为何值时,代数式(1-1[]x+1)÷1[]x2-1-x3-x2-2x+1x+1的值为1[]2．探究 化简得原式=x2+x-1[]x+1.由x2+x-1[]x+1=1[]2,2x2+x-3=0解得x1=-3[]2,x2=1.不能疏忽原式分母有意义的隐含条件：x2-1≠0,于是x=-3[]2．

看似平淡但暗设玄机,旨在考查解题者有无慎密的数学思维和反思、批判意识.以下是一道有关函数隐含性的问题：

题21 已知ab=t+1,a+b=2t+6,S=（a－b）２,试画出S关于t的函数图象．

探究 因S=（a－b）２=(a+b)2-4ab=-2t+2；注意两个隐含条件：保证2t+6有意义,应有2t+6≥0；又S=（a－b）２≥0,即-2t+2≥0,于是1≥t≥－3,S关于t的函数图象为图19所示．

20 蛇打七寸(数形结合、函数方程思想和解题的思辨意识)

题22 从直角坐标系的原点O开始,分别在y轴取两个顶点和抛物线y=ax2(a＞0)的图像右侧上取另一顶点,作一系列的等边三角形,试问第2012个等边三角形的面积有多大？

探究 思辨：关键是找到相邻的两个等边三角形边长递增的规律.令第i个等边三角形为RiPiRi+1(i≥1),OiPi为它的高,并设Pi(xi,yi).见图20,采用“横长”变“竖高”之策：

因OnOn-1=RnOn-1+RnOn(n≥2)

=On-1Pn-1[]3+OnPn[]3=xn-1[]3+xn[]3,所以yn-yn-1=xn-1[]3+xn[]3,即ax2n-ax2n-1=xn-1[]3+xn[]3xn-xn-1

=3[]3a(n≥2)因x1=3[]3a,所以x2012=x1+20113[]3a

=20123[]3aS2012=1[]2P2012O2012×R2012R2013=1[]2×2x2012[]3×x2012=201223[]9a2．(续完)