巧用轴对称化曲为直求最值

【摘要】两线段和差的最值问题是困扰初中生的一类难题，利用轴对称知识在不改变总长度的同时化曲为直巧妙的化难为易.

【关键词】最值；轴对称；化曲为直

新课改下的数学教学要求教师“要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教育资源为学生提供丰富多彩的学习素材；关注学生的个性差异，有效地实施差异教学，使每名学生都得到发展”.

本文从巧用轴对称化曲为直求最值问题入手，在挖掘课本教育资源、注重培养学生知识迁移能力方面作一些尝试与探索，与大家共同交流.

一、课本原型（人教版八年级下册数学教科书42页）

探究：

图1

要在燃气管道m上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气，泵站建在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

（1）若点A，B在直线m异侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：直接连接AB，与直线m交点就是所求点P，此时AB=AP+PB.

（2）若点A，B在直线m同侧，在直线M上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线M的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值.

引申：（3）若点A，B在直线m异侧，在直线m上找一点P，使AP-BP的值最大，做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP-BP的值最大.

在解决这个问题中，通过轴对称，将管道同侧的一个点映射到另一侧，而不改变路径的总长度，利用“两点之间，线段最短”化曲为直使问题得到解决.利用此数学模型能够将一类最值问题化难为易.

二、应用延伸

图2

例1（2014・莆田）如图2，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=120°，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值是27.

本题属于模型第二种情况：点B，E在直线AC的同一侧.利用菱形关于对角线AC对称，显然点B关于直线AC的对称点就是点D.连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF.易证只有点F运动到点M时，EF+BF取最小值，再根据菱形的性质、勾股定理求得最小值27.

图3

例2（2013・莆田）如图3，抛物线L1：y=x2+x-6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，把抛物线L1向右平移n个单位长度（n>0）得到抛物线L2，抛物线L2与x轴交于E，F两点（点E在点F的左侧），与y轴交于点D，OD=OF，图中的虚线为抛物线L2的对称轴.

（1）求n的值.

（2）点P在抛物线L2的对称轴上，当PF-PD的值最大时，求点P的坐标.

（3）若点Q在抛物线L2的对称轴上，且使得AQ+DQ的值最小，那么在抛物线L1，抛物线L2上是否分别存在点M，点N，使得以PQ，MN为边的四边形是平行四边形？若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由.

（1）略解：n=2既L2：y=x2-3x-4

（2）分析：点D，F在直线x=32的两侧，属于第三种情况.

E-1，0，F4，0，对称轴方程x=32，点F关于直线x=32对称点即为点E，连接ED的直线与直线x=32的交点即为所求点P32，-10.此时PF-PD的最大值就是ED=（-1）2+（-4）2=17.

（3）分析：点D，A在直线x=32的同一侧，属于第二种情况.

A-3，0关于直线x=32对称点A，6，0连接A，D与直线x=32的交点即为所求Q32，-3.

在抛物线L1，抛物线L2上分别存在点M，点N，使得以PQ，MN为边的四边形是平行四边形.设Ma，b，则Na，b+7或Na，b-7.

b=a2+a-6，b+7=a2-3a-4或b=a2+a-6，b-7=a2-3a-4.

解得a=-54，b=-9116或a=94，b=2116.

M-54，-9116，N-54，2116或M94，2116，N94，-9116.

分析解决本道题的关键在于P，Q两点坐标的确定，充分利用探究所得结论，利用轴对称知识轻而易举的求出两点坐标从而顺利解决了本题.

要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教育资源为学生提供丰富多彩的学习素材，在此基础上建立数学模型，学以致用，激发学生学习兴趣，提高学生解决问题能力.

【参考文献】

[1]吴水文.回归基础，用好教材――数学高考题来源引发的几点教学及复习思考[J]..福建中学数学，2015（1）.

[2]潘龙生.有思・有行！有味――一节探究课的教学实践与思考[J].福建中学数学，2015（1）.