动能定理应用的汇总解析

一、用动能定理求某点速度的大小

例1如图1，小球质量为m，用长为l的轻绳悬挂于天花板上的O点.现用某力拉球，使轻绳转过θ角.求：若用水平恒力F拉动，球由P处到达Q处时，球的末速度大小.

分析与解求物体在Q点的速

度v.已知物体在P点的速度为零，由P到Q 的运动过程中只有重力和外力做功，两个力都是恒力，可直接应用动能定理，得

点评应用动能定理解决问题时必须先选择研究对象的运动过程，确定此过程的初、末速度v0、v；再分析在运动过程中这些力的做功情况，代入动能定理公式.切记，要注意功的正负问题.

二、应用动能定理求恒定力

例2质量为m的小球从离泥塘高H处由静止落下，不计空气阻力，落在泥塘上又深入泥塘 后停止，如图2所示.求小球在泥塘中运动时所受平均阻力多大？

分析与解小球由静止下落到泥塘表面的过程中，下落高度为h，只有重力做功mgH，进入泥塘后下落高度h，重力和泥的阻力都做功.重力做正

功mgh，阻力做负功-fh.小球由静止下落到泥塘中静止的过程中，初、末速度都是零，由动能定理得

点评小球在泥塘中受到的阻力为变力，对这道题求平均阻力，可以认为阻力为恒力.

三、应用动能定理求动摩擦因数

例3一个物体从斜面上高h处由静止滑下，紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，量得停止处对开始运动处的水平距离为s，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并认为斜面与水平面对物体的摩擦因数相同，求摩擦因数μ.

分析与解物体从开始下滑到停止的过程中，只有重力和滑动摩擦力做功.斜面上滑动摩擦力的大小为μmgcosθ，水平面上滑动摩擦力的大小为μmg，都做负功.设物体的质量为m，动摩擦因数为μ，斜面倾角为θ，斜面长为l1，水平面长为l2，有l1cosθ+l2=s.由动能定理得

mgh-μmgcosθ・l1-μmgl2=0.

所以可解得μ=hl.

点评从计算结果看，动摩擦因数为μ与斜面的具体长度没有关系，只与斜面的高度和滑行的水平距离有关.

四、应用动能定理求变力做功

例4如图4所示.在一块水平放置的光滑板面中心开一小孔O，穿过一根细绳，细绳的一端用力F向下拉，另一端系一小球，小球圆周运动的半径为r，现在开始缓慢增大拉力F，使小球运动半径逐渐减小8F.小球运动半径恰好减为r2，在此过程中，绳拉力对小球所做的功为

A.4Fr B.32Fr C.Fr D. 12Fr

分析与解物体在力F的作用下，做匀速圆周运动，设速度为v1，向心力大小等于F，所以

F=mv21r.

物体在力8F的作用下做匀速圆周运动.设速度为v2，向心力大小等于8F，有8F=mv220.5r.

物体由半径为r匀速圆周到半径为r2匀速圆周运动的过程中，只有拉力做功，所以W=12mv22-12mv21.

解得W=32Fr.所以B正确.

点评应用动能定理解决力做功问题，要明确物体的初、末速度.分清物体在此过程中各个力的变化情况和做功情况.

五、应用动能定理求路程

例5如图5所示.ABCD是一个盆式容器，盆内侧壁与盆底BC的连接处都是一段与BC相切的圆弧，BC水平，BC=d=0.50 m，盆边缘的高度h=0.30 m.在A处放一个质量为m的小物块，让其从静止出发下滑，已知盆内侧壁光滑，而BC面与小物块间的动摩擦因数为μ=0.10，小物块在盆内来回滑动，最后停下来.问停的地点到B的距离为多少？

分析与解物体在重力的作用下下滑，下滑过程中只有重力做功，无能量损失，在水平面上由于摩擦力做负功，物体的能量减小，所以冲上另外一边的曲面上的高度比原高度低，在另一面的曲面上也没有能量损失，又以原来的速率回到水平面，依次重复.最终将停在水平面的某点.设物体在水平面上的路程为s，物体从A点开始下滑到停下的过程中，初、末速度都为零，由动能定理得

mgh-μmgs=0.

解得s=3 m.

所以，物体在水平面上运动sd=6次，物体停在B点.

点评求物体运动的路程一般涉及摩擦力做功的多过程问题，要分析清物体的末状态及初、末速度.大小不变的摩擦力做功为力与物体路程的乘积.

六、动能定理在物体系统中的应用

例6如图6所示.质量分别为3m、2m、m的三个小球A、B、C用两根长为L的轻绳相连，置于倾角为30°、高为L的固定光滑斜面上.A球恰能从斜面顶端外竖直落下，弧形挡板使小球只能竖直向下运动，小球落地后均不再反弹.由静止开始释放它们，不计所有摩擦，求：

（1）A球刚要落地时的速度大小；

（2）C球刚要落地时的速度大小.

分析与解在A球未落地前，对于A、B、C组成的系统，只有重力做功.A下落的高度为L，这个过程里重力做正功；B和C上升的高度都为Lsin30°，重力做负功.A落地时A、B、C速度大小相等，设都为v.由动能定理有

mAgL-（mB+mC）gLsin30°=12（mA+mB+mC）v2.

解得v=gL2.

（2）A球落地后，B球未落地前，B、C组成的系统只有重力做功（A、B间的绳没有拉力）.B下落的高度为L，重力做正功；C上升的高度为Lsin30°，重力做负功.B落地时B、C速度大小相等，设都为v1.依动能定理有

mBgL-mCgLsin30°

=12（mB+mC）v21-12（mB+mC）v2.

解得v1=3gL2.

B球落地后，C球未落地前，C球在下落过程中只有重力做功.设C球刚要落地时的速度大小为v2，由动能定理有

mCgL=12mCv22-12mCv21.

解得v2=14gL2.

点评当研究对象为几个物体构成的系统时，因系统在状态变化的过程中，不仅有外力做功，还可能有内力做功，此时动能定理可表示为W外+W内=Ek2-Ek1，即外力和内力对系统所做的总功，等于系统在这个过程中动能的变化.在本题中，ABC系统的内力――绳子的拉力对下面物体做功-FL，对上面物体做功FL，因而拉力对系统做功的代数和为零.选用动能定理求解简捷、快速.