浅析数学期望在实际生活中的应用

摘 要 数学期望是概率论中的一个重要概念，是随机变量的数字特征之一，体现了随机变量总体取值的平均水平，本文主要阐述了数学期望的定义和性质，讨论了实际生活中的某些应用问题，从而使我们能够使用科学的方法对其进行量化的评价，平衡了极大化期望和极小化风险的矛盾，达到我们期望的最佳效果。

关键词 概率统计 数学期望 实际问题 应用

早在17世纪，有一个赌徒向当时的法国数学家提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。他们两人获胜的机率相等.但是当其中一个人赢了2局，另一个人赢了1局的时候，由于某种原因终止了赌博。问：赌资应该怎样分才合理？”那么如何分配这100法郎才比较公平？用概率统计的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+（1/2）*（1/2）=3/4，或者分析乙获胜的概率为（1/2）*（1/2）=1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。在经济生活中，有许多问题都可以直接或间接的利用数学期望来解决，风险决策中的期望值法便是处理风险决策问题常用的方法。数学期望是随机变量的数字特征之一，它代表了随机变量总体取值的平均水平。

一、期望的概念及性质

1、离散型随机变量的数学期望

设X是离散型随机变量，其分布律为P（X=xi）= pi（i=1，2……），若级数xi pi绝对收敛，则称该级数的和为X的数学期望，记作E（X），即：

E（X）=xi pi

2、连续型随机变量的数学期望

设f（x）为连续型随机变量X的概率密度，若积分xf（x）dx绝对收敛，则称它为X的数学期望，记作E（X），即：

E（X）=xf（x）dx

3、期望的性质

（1）E（c）=c，c为任意常数；

（2）E（cX）=cE（X），c为常数，X为变量；

（3）E（X+Y）=E（X）+E（Y），X，Y为变量；

（4）若X，Y独立，则E（XY）=E（X）E（Y）。

二、数学期望在实际问题中的应用

1、决策投资方案

决策方案即将数学期望最大的方案作为最佳方案加以决策。它帮助人们在复杂的情况下从可能采取的方案中做出选择和决定。具体做法为：如果知道任一方案Ai（i=1，2，…m）在每个影响因素Sj（j=1，2，…，n）发生的情况下，实施某种方案所产生的盈利值及各影响因素发生的概率，则可以比较各个方案的期望盈利，从而选择其中期望盈利最高的为最佳方案。

假设某人用10万元进行为期一年的投资，有两种投资方案：一是购买股票；二是存入银行获取利息。买股票的收益取决于经济形势，若经济形势好可获利4万元，形势中等可获利1万元，形势不好要损失2万元。如果存入银行，假设利率为8%，可得利息8000元，又设经济形势好、中、差的概率分别为30%、50%、20%。试问应选择哪一种方案可使投资的效益较大？

比较两种投资方案获利的期望大小：购买股票的获利期望是E（A1）=43+15+（-2）2=1.3（万元），存入银行的获利期望是E（A2）=0.8（万元），由于E（A1）>E（A2），所以购买股票的期望收益比存入银行的期望收益大，应采用购买股票的方案。在这里，投资方案有两种，但经济形势是一个不确定因素，做出选择的根据必须是数学期望高的方案。

2、进货问题

设某种商品每周的需求是从区间[10，30]上均匀分布的随机变量，经销商进货量为区间[10，30]中的某一整数，商店销售一单位商品可获利5000元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏价100元，若供不应求，则可以外部调剂供应，此时一单位商品获利300元，为使商品所获利润期望不少于9280，试确定进货量。

故利润期望不少于9280元的最少进货量为21单位。

3、面试方案

设想某人在求职过程中得到了两个公司的面试通知，假定每个公司有三种不同的职位：极好的，工资4万；好的，工资3万；一般的，工资2.5万。估计能得到这些职位的概率为0.2、0.3、0.4，有0.1的可能得不到任何职位。由于每家公司都要求在面试时表态接受或拒绝所提供职位，那么，应遵循什么策略应答呢？

极端的情况是很好处理的，如提供极好的职位或没工作，当然不用做决定了。对于其他情况，我们的方案是，采取期望受益最大的原则。 先考虑现在进行的是最后一次面试，工资的数学期望值为：E（A1）=42+33+2.54+01=2.7万。

那么在进行第一次面试时，我们可以认为，如果接受一般的值位，期望工资为2.5万，但若放弃（可到下一家公司碰运气），期望工资为2.7万，因此可选择只接受极好的和好的职位。这一策略下工资总的期望 如果此人接到了三份这样的面试通知，又应如何决策呢？

最后一次面试，工资的期望值仍为2.7万。第二次面试的期望值可由下列数据求知：极好的职位，工资4万；好的，工资3万；一般的，工资2.5万；没工作（接受第三次面试），2.7万。期望值为：E（A2）=42+33+2.54+2.71=3.05万。

这样，对于三次面试应采取的行动是：第一次只接受极好的职位，否则进行第二次面试；第二次面试可接受极好的和好的职位，否则进行第三次面试；第三次面试则接受任何可能提供的职位。这一策略下工资总的期望值为42+3.058=3.24万。故此在求职时收到多份面试通知时，应用期望受益最大的原则不仅提高就业机会，同时可提高工资的期望值。

4、保险公司获利问题：一年中一个家庭晚万元被盗的概率是0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交纳保险费100元，若一年内万元以上财产被盗，保险公司赔偿a元（a>100），试问a如何确定才能使保险公司获利？

解：只需考虑保险公司对任一参保家庭的获利情况，设表示保险公司对任一参保家庭的收益，则的取值为100或100-a，其分布为：

根据题意：E（X）=10099+（100-a）01=100-0.01a>0

解得a

又a>100，所以a∈（100，10000）时保险公司才能期望获利。

三、结束语

数学期望具有广泛的应用价值。实践证明当风险决策问题较为复杂时，决策者在保持自身判断的条件下处理大量信息的能力将减弱，在这种情况下，风险决策的分析方法可为决策者提供强有力的科学工具，以帮助决策者作出决策，但不能代替决策者进行决策。因为在现实生活中的风险决策还会受到诸多因素的影响，决策者的心理因素，社会上的诸多因素等，人们还需综合各方面的因素作出更加合理的决断。

（作者单位：襄阳职业技术学院）