探索新课程理念下的一节数学课

摘 要：用向量法证明“点到直线的距离公式”，引导学生从解析几何中点、线、距离、平行、垂直关系向向量运算过渡，发现两者之间的内在联系.

关键词：距离；向量坐标；方向向量；法向量；数量积；向量的投影

【探索背景】

本节课是北师大版高中数学必修4平面向量部分的内容。按教材的安排，本大节是想让学生熟悉向量在数学和物理学中的应用，理解向量的工具性.从高考角度看，向量与三角函数、解析几何等知识综合起来的题目频频出现在全国各地的高考试卷中，这些题目新颖，难度较大，成为高考的新宠.本节课通过一个具体的实例来体会向量的作用.

【探索意图】

本节课内容是用向量法证明“点到直线的距离公式”.虽然只是一个证明，但由于向量是个新的知识，比较抽象，学生在学习新知识时就比较被动，到了这节课，要求学生在原有知识的基础上，把几何中的代数知识转化为向量知识，进行类比，联系，对学生能力要求比较高，学生觉得比较困难.所以，我对这节课进行了仔细的探索和研究，以问题为教学线索，以类比为教学方法，引导学生逐步从解析几何中点、线、距离、平行、垂直关系向向量运算过渡，发现两者之间的内在联系.

【探索过程】

一、引课

教师活动：前几节课，我们学习了平面向量的有关知识.向量既有大小，又有方向，所以，它既具有数的运算特点，又具备形的特征，具有更广泛的意义，常应用在数学和物理中.几何中的夹角、距离、平行和垂直关系以及线、面都可以用向量刻画.今天我们通过一个具体的实例来体会向量的作用.用向量法证明“点到直线的距离公式”.

活动说明：点明本节课主题，突出向量的重要作用.

二、复习回顾

教师活动：和学生一起回顾公式：点p（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=（A，B不同时为0）

问题1：在必修2解析几何部分学习时，证明“点到直线距离公式”的方法？（只说思路，不做详细证明）

学生活动：方法一，利用定义：（1）确定直线l的斜率k（k≠0）.（2）求与l垂直的直线l′的斜率.（3）求过点P垂直于l的直线l′方程.（4）求l与l′的交点Q.（5）求点P与点Q的距离.（6）得到点P到l的距离d=PQ.方法二，利用函数的思想：设Q（x，y）为l上一动点，d为|PQ|最小值，写出距离公式，转化为二次函数求最值问题.师生共同总结：这些方法思路简单，但运算繁琐.

活动说明：因为是复习，不是重点，证明几种方法根据学生回答问题情况而定.

三、探索新知

教师活动：研究如何用向量证明点到直线的距离公式，因为要用向量法证明，所以要把问题放在向量背景中.

设置问题：问题2：什么向量能够刻画直线？向量坐标怎么求？

问题3：还有什么向量能够刻画直线？向量坐标怎么求？

问题4：垂足位置不定，如何求距离？

问题5：P，M以坐标形式出现，如何刻画长度？

问题6：向量P，法向量以坐标形式出现，向量的什么知识可以帮助我们求d？

学生活动：问题2：方向向量.方向向量是与直线平行，共线的非零向量，有无数多个.引导学生求出一个方向向量=（B，-A）

问题3：法向量.法向量是与直线垂直的非零向量，有无数多个.可以通过与方向向量垂直来求坐标. ，引导学生求出一个法向量 =（A，B）

问题4：直线上再找一个点M（x，y）构造直角三角形，垂线段的长d与斜线段|PM|有关.

问题5：模长.

问题6：向量的投影（复习投影知识）.d是P 上投影的绝对值.

活动说明：以问题为教学线索，引导学生的思维从问题到问题深化.

四、完成公式推导

教师活动：要求学生完成推导过程.学生容易忽略距离是一个非负数，所以，教师要强调PQ= ·cosθ应该加上绝对值符号.

学生活动：学生完成：

教师活动：（小结）向量法证明点到直线的距离公式，思路较难，但运算简单.随着知识的推进，向量的深入学习，可以继续体会向量解决问题的优越性.

活动说明：在学生原有的知识体系上，通过类比逐步引导学生从解析几何中点、线、距离、平行、垂直关系向向量运算过渡，发现两者之间的内在联系.

【探索实践】

证明题本来就是学生比较吃力的一类题，再加上向量知识的要求，这节课难度较大，比较抽象.这节课我没有一味地追求学生的自学模式，采取了设置问题的方法，将学生慢慢引入向量背景中，让学生逐步体会点、线、面、夹角、距离、平行垂直关系如何用向量刻画，代数运算如何上升为向量运算.整个分析过程和解决过程都是由学生来完成的.实践证明，这种授课方式比较成功，学生很容易接受.

（作者单位 陕西省西安中学）