充分发挥课本习题功能,培养学生的思维能力

在上海初中数学七年级第二学期课本（试用本）P.65练习13.5（4）上有这样一道习题：

3（1）如图，已知AB∥CD，∠B+∠BED+∠D等于多少度？为什么？

解：过点E作EF∥AB，

得∠B+∠BEF=180°（?摇?摇?摇?摇 ?摇?摇 ）。

因为AB∥CD（?摇?摇?摇?摇），

EF∥AB（所作），

所以EF∥CD（?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇），

得∠?摇?摇?摇?摇+∠?摇?摇?摇?摇=180°（两直线平行，同旁内角互补），

因此∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=?摇?摇?摇?摇°。

即∠B+∠BED+∠D=?摇?摇?摇°。

（1） （2）

（2）如图，在第（1）小题中改变点E的位置，如图（2）所示，那么∠B，∠BED，∠D有怎样的数量关系？为什么？

（3）第（1）、（2）两小题还有其他的解法吗？试一试。

讲完（1）小题后，总结了添辅助线的目的是构造出两对同旁内角从而解决问题。我要学生想一想，是否还有其他的解法，经过独立思考，小组讨论后，每小组派代表交流解法。

生1：过点E作EF∥AB，得∠B=∠BEF。

因为AB∥CD，EF∥AB，

所以EF∥CD，

得∠D=∠DEF。

因为∠BED+∠BEF+∠DEF=360°，

所以∠B+∠BED+∠D=360°。

师：他把三个角转化成了一个周角。

生2：我可以联结BD，因为AB∥CD，

所以∠ABD+∠CDB=180°。

又因为∠DBE+∠BDE+∠BED=180°，

所以∠ABD+∠CBD+∠DBE+∠BDE+∠BED=360°，

即∠ABE+∠E+∠CDE=360°。

师：该同学把三个角分成了一对同旁内角和三角形的三个内角之和，从而解决了问题。

生3：如图，我可以构造一个四边形和一对内错角，

因为AB∥CD，所以∠ABF=∠BFD。

又因为∠BFD+∠D+∠E+∠EBF=360°，

所以∠ABF+∠D+∠E+∠EBF=360°，

即∠ABE+∠D+∠E=360°

生4：如图，我可以构造一个五边形和两个直角，用五边形的内角和减去两直角之和就可以了。

师：五边形的内角和怎么求？

生4：用公式（n-2）×180°，小学时学过的。

师：一定要构造两个直角吗？

生5：不一定，如图，我可以任意构造一个五边形，因为AB∥CD，所以∠BGF+∠GFD=180°，用五边形的内角和减去同旁内角之和就可以了。

师：既然构造三角形、四边形、五边形都可以，六边形呢？（我自己也没有想过可不可行，只是想启发学生学会思考问题的方式）

学生开始讨论，有些说不行，有些说行，但又找不到说明的方法。思考了一段时间，有一位学生说他有方法。

生6：如图，作FG交AB于点F，交CD于点G，点O为FG的中点，作B、E、D关于点O的中心对称点M、H、N，

根据对称性∠ABE=∠HMD，∠BED=∠NHM，∠EDM=∠HNB，

所以，∠ABE+∠BED+∠EDM= =360°。

同学们自发鼓掌表示赞赏。

生7：我有一种不同的方法，如图，过点E作GF交AB的延长线于点G，交CD的延长线于点F，

因为AB∥CD，

所以∠BGE+∠EFD=180°。

又因为∠ABE=∠BGE+∠BEG，∠CDE=∠DEF+∠DFE，

且∠BEG+∠BED+∠DEF=180°，

所以∠ABE+∠BED+∠EDC=360°。

师：很好。将GF往左移与BE交于点I，与DE交与点H，可不可以用以上的推理方式得出。

生8：可以，上一种方法把三个角之和变成了一个平角加上一对同旁内角之和，这种方法把平角换成了三角形的内角和，再通过两对对顶角转换而已。

师：将FG再往左移与BD重合，就是构造一对同旁内角和三角形的方法，再往左移，就是构造一对同旁内角和四角形的方法，这些方法是相通的。

（一节课很快过去，很多学生意犹未尽，我要求学生课后在以上几种方法中选择两种方法用符号语言书写完整，然后再思考是否还有别的方法。）

第二节课接着上一堂课的内容交流不同的解法。

生9：我找到了一种与昨天构造一个四边形和一对内错角的相似的方法，如图，过点B作BF∥DE交CD于点F，

因为AB∥CD，

所以∠ABF=∠BFD。

又因为BF∥DE，

所以∠FBD+∠E=180°，∠BFD+∠D=180°，

所以∠FBD+∠E+∠ABF+∠D=360°，即∠ABE+∠D+∠E=360°。

师：将上面方法中的BF往左移，如图，作FG交AB于点G，交CD于F，交EB的延长线于H，可以吗？

生10：可以，因为AB∥CD，

所以∠ABF=∠BFD。

又因为BF∥DE，

所以∠FBD+∠E=180°，∠BFD+∠D=180°，

所以∠FBD+∠E+∠ABF+∠D=360°，

即∠ABE+∠D+∠E=360°。

师：将上面方法中的BF往右移，如图，作FG交AB的延长线于点G，交CD于F，交EB于H，是否还可以说明？

生11：可以，我来说。

因为AB∥CD，所以∠G=∠HFD。

又因为∠BHG=∠FHE，∠ABE=∠G+∠BHG，

所以∠ABE+∠E+∠D=∠FHE+∠E+∠D+∠HFD=360°。

生12：我有一种更简单的方法。如图，延长BE与CD交于点F，

因为AB∥CD，

所以∠B+∠F=180°。

因为∠BED=∠F+∠EDF，

且∠CDE+∠EDF=180°，

所以∠B+∠BED+∠CDE=360°。

生13：这种方法我也想到了，但是说明的方法不一样。

如图，延长BE与CD交于点F，

因为AB∥CD，

所以∠B=∠DFG。

因为∠CDE+∠BED+∠DFG=360°，

所以∠B+∠BED+∠CDE=360°。

师：为什么∠CDE+∠BED+∠DFG=360°？

生13：三角形的外角和为360°，我预习过后面的内容。

师：如图，把折线折1折改为折2折、折3折，推广到n折后呢？

生14：我发现了规律，折1折时，三个角之和为2×180°，折2折时四个角之和为3×180°，折3折时五个角之和为4×180°，推广到n折后n+2个角之和为（n+1）×180°。

师：很好，这位同学能将命题的条件一般化，从而推得更为普遍的结论，难能可贵。

师：如图，如果将折线方向改变，即习题的第二小问，∠B，∠D，∠BEF之间存在什么数量关系？

生15：过点E作EF∥AB

则有EF∥AB∥CD

AB∥EF

∠B＝∠BEF

同理∠D＝∠DEF

∠BED＝∠AEF+∠CEF＝∠B+∠D

师：如图，如果将折1折改为折两折呢？

生16：同样的作法，过点G、H分别作AB的平行线，用上述的方法，同理可得∠1+∠3＝∠2+∠4。

师：如下左图，改为折五折呢？

生17：同理可得∠1+∠3+∠5+∠7＝∠2+∠4+∠6。

师：如上右图，改为折n折呢？

生18：可以发现规律：奇数角之和等于偶数角之和。

师：同学们的表现真不错，大家一起分享了学习成果，希望同学们能在众多的方法中找到最简洁、最适合自己的方法。相信每一位同学都有不同的收获，在探索中体验了发现的乐趣，课后还可以继续探究平行线之间折线角的问题。

课后反思：

中学数学教学的核心是培养学生的思维能力。这两节课的成功之处在于充分发挥了课本习题一题多解的功能，引导学生面对同一题目，尽可能考虑多种不同的解法，进行交流和分享，既扩大了学生的视野，深化了所学的平行线性质的知识，又提高了学生的解题能力，让学生学会了举一反三，触类旁通。在一题多解的基础上再进行了一题多变，将折线方向改变，再要求学生探索∠B，∠D，∠BEF之间存在什么数量关系，从而变化为与原题内容不同，但解法相近的题目，同时把这道习题与课本P.70的探究活动《平行线被折线所截问题》整合在一起，将命题进行了推广，从而推得更为普遍的结论。在解完题后，再改变命题的条件和结论，从纵横两方面加以引申、拓广，从而获得新的结论，这样不仅加深了学生对数学知识的理解，而且有利于培养学生数学思维能力，特别是对学生的探索精神、创造意识和创造能力的培养也起到了一定的作用。

这两节课不仅充分发挥了课本习题的功能，而且充分挖掘了来自学生的资源，来自学生的不同思维，容易在同学中产生共鸣，在课堂上学生的自主性得到了很好的展示和发展。学生的讨论是热烈的，思维是活跃的，解决问题的方式是多样的。当学生阐述自己的方法后，学生都会自发地鼓掌表示赞赏，这一效果是教师单纯讲解所不能比拟的。基础教育课程改革所提倡的教师是课堂的合作者、引导者和组织者，教学过程是师生交流、积极互动、共同发展的过程，这一教学规则在这两节课中得到了实现。

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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