巧用变形 唤醒思维

甘肃省徽县一中有些数学问题，思路隐蔽，直接入手解题存在困难。如能恰当的变形，思维可顺利进行。本文介绍几个恰当变形的例子，旨在培养学生的一种思维方式和探索精神，同时享受过程美和成功的喜悦。

例1：求证：1835>35！

证明：根据两边均乘积，可进行变形18・18……・18>1・2……・35两边数的个数相等，寻找它们的联系可变形为：1・35=（18－17）・（18+17），2・34=（18－16）・（18＋16）……即（18－i）・（18＋i）=182－i235！成立。

例2：求证：1+ 。

证明：根据该不等式结构特征，与均值不等式有关。故有：

所以，原不等式成立。

例3：设f（x）是实函数，且f（x）-2f（）=x，求证：|f（x）|≥ √2。

证明：显然x≠0，用 替换原式中的x，有f（）-2f（x）=

联立方程组解得：f（x）=，变形得：x2+3xf（x）+2=0。

f（x）是实函数，即≥0，所以：[3f（x）]2-8≥0。

故|f（x）|≥ √2成立。

例4：设x、y、z为三个互不相等的实数，且

，求证：x2y2z2=1。

证明：从已知看属于不定分式方程组，从结论看是积的形式，使已知向积的方向变形，可产生联系，进而实现证明。

x、y、z互不相等，x2y2z2=1。

例5 ：求证：如果二次方程（ac-bc）x2+（bc-ab）x+（ab-ac）=0有两个相等的实根，则成等差数列。

证明：根据方程特征，需证结论是分式关系，可给方程两边除以abc得 ， 1是它的根，由根与系数的关系得，=1即等差数列。

例6：证明：具有下列形式的数N= ，是一个完全平方数。

证明：此题虽是与自然数有关的命题，但用数学归纳法证明不易入手。由此联系结论可变形为：

N=

这里2×10n+1所有项和是3，所以能被3整除，故原命题为真。

综上所述，发现“证明或解题”的过程，就是寻求题设和结论之间逻辑联系的过程。联系要有明确的目的，应充分考虑命题的结构特点，利用定义、定理、公式、性质、法则等，实施合理的变形，就能顺利的实现求证求解。不难看出，恰当的变形，不仅体现着唤醒的过程美，同时也在享受着成功的喜悦，犹如芙蓉出水。