由一道选择题谈一题多解

摘 要： 作者结合自己在数学教学中遇到的一道选择题，谈谈如何实现一题多解，以培养学生思维的灵活性和创新能力。

关键词： 数学教学 一题多解 多解一题

在平日解答习题时，大多数同学往往就题论题，不多加思考即快速写出答案了事。其实这种做法是不可取的，它会使学生头脑中的知识零乱分散，不能形成系统性，也会使学生的思维空间缩小。解答习题时应善于借题发挥、扩展思路，一题多解、多题一解，通过不同角度思考问题，提高知识迁移能力，寻找解决问题的多种途径及多种可能的结论，这样能促进思维的灵活性。同时多解中的新思路、新方法，又有利于创新思维的形成，而在应用多种解法中选择更简、更优的解法，有利于优化思维品质。

《数学课程标准》指出，由于学生的生活背景、知识基础和思考角度不同，在解题中所使用的方法必然是多样的，教师应该尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，倡导解题方法的多样化。下面我结合自己在数学教学中遇到的一道选择题，谈谈如何实现一题多解，培养学生思维的灵活性和创新能力。

例：如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形。设AFC的面积为S，则（?摇?摇）

A．S=2 B．S=2.4

C．S=4 D．S与BE的长度有关

解决图形的面积问题，常用的方法无外乎两种，一种是直接求，另一种是间接求，也就是把原图形的面积用“割补法”进行转化。这题也不例外。

方法一：间接求。这是学生遇到稍微困难点的求图形面积问题时最常用的方法。这题就有很多种“割补”的方法。如：

生1：将AFC的面积转化成梯形ABGF与ABC的面积和减去FGC的面积。设正方形EFGB的边长为a，则

S=S+S-S

=(a+2)×a+×2×2-a(a+2)

=a+a+2-a-a

=2

生2：过点A作AMFG，交GF的延长线与点M（如图所示），则

S=S-S-S

=（a+a+2）×2-×a×(2-a)-a(a+2)

=2a+2-a+a-a-a

=2

……

利用割补法求图形的面积，转化的方式有很多，这里不一一赘述。

方法二：直接求。利用三角形的面积=×底×高。这里势必会选择AC为底，然后过点F作FMCA的延长线于点M。因为这里的高的求法，一般学生不易想到，所以学生往往会选择间接求，进行适当的转化。实际上，在选择AC为底时是因为AFC中只有AC这一条边可以求出来，那么就要想到另一个正方形EFGB的对角线同样能起到作用。连接FB，易知FB∥AC，那么利用“平行线之间的距离处处相等”就可以求出高FM=AC=。

这样，S=AC×FM=×2×=2

……

上面两种方法是学生比较容易想到的方法，也是我们求图形面积常用的两种方法。我们应该肯定学生的思维，培养学生的学习积极性。

实际上，对于这道选择题，还有其他的解法。如题目已知条件告诉我们“点E在AB上”，那么我们是否可以考虑点E在AB的特殊位置上呢？

假设点E在点B处，那么正方形EFGB的边长就为0，点F、点G就和点B重合（如图1所示），那么AFC的面积就是AEC的面积=2。如果点E在点A处，那么正方形EFGB的边长就为2（如图2所示），那么AFC的面积就是×AF×CD=×2×2=2。如果点E在AB的中点处，（如图3所示），那么我们易知AE=EF，∠FAE=45°，从而得到∠FAC=90°，那么AFC的面积就等于×AF×AC=×2×=2。

这样我们很快就可以选出正确答案A。

从点的特殊位置所得到的结果我们可以猜想一般结论，而从一般结论又可以验证特殊值。当代数学教育家G.波利亚认为：“我们如果不用‘题目的变更’，几乎是不能有什么进展的。”事实上，在众多的数学问题中，特殊与一般之间都有密切的关系，它们往往是一个整体。但在我们的数学教学中，这类原本具有整体性的问题往往被分割成一个个单题，以致学生找不出其中的联系。这就是说，在试题讲评时，不能就题论题，对涉及知识、技能面广的题目，要力争“一题多变”、“一题多练”，引导学生扩展思路，纵横联系。我们应对相关知识进行有效的拓展与迁移，对该知识点联系到的相同、相似和相关的知识进行比较、鉴别和再认识，以培养学生举一反三、融会贯通的能力。这样才能达到使学生做一题，学一法，会一类，通一片的目的，无论是对于知识的掌握，还是对于认识水平的升华，都会起到不可估量的作用。

将上题进行如下变式：

例：如图4，四边形EFGB与ABCD都是正方形，它们的边长分别为a、b（b≥2a），且点F在AB上（以下问题的结果可用a、b表示）。

（1）求S；

（2）把正方形BEFG绕点B逆时针方向旋转45°得图4，求图4中的S；

（3）把正方形BEFG绕点B旋转任意角度，在旋转过程中，S是否存在最大值、最小值？如果存在，试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。

简析：题（1）求AFC的面积以AF为底，BC为高计算虽然简便；若从探究问题（2）、（3）考虑，抓住正方形BEFG绕点B旋转任意角度，在旋转的过程中AC始终不变，AFC的面积随AC上高的变化而变化，求AC上的高成为问题的关键。据此，解题（1）时以AC为底，用解三角形求AC上的高，但是，此求高的方法对探究问题（2）、（3）不利。细心观察图4，可以发现EF∥AC，联想到等积变形，把求AFC的面积转化成求AEC的面积，在寻找AFC边AC上高的过程中又发现B、E、D在一直线上，OE就是高，此时已知AC上高与对角线BD相关。显然探究问题（2）成了（1）的翻版（只是BF∥AC，AFC与ABC等积变形，这就是本题的“变”中之“不变”）。解决问题（3）的关键是，要看到正方形BEFG绕点B旋转任意角度，点F的轨迹是以B为圆心，BF为半径的圆（如图6），当b>2a时，在位置F时AFC的面积最小（b=2a时，没有最小值）；在位置F时AFC的面积最大，高仍与对角线BD相关。

本题从原来的边长是具体数字，拓展为边长是一个代数式，体现了从特殊到一般的思想方法，拓宽了学生的思维。如果说一题多解能培养学生思维的灵活性，多题一解则更能培养学生思维的广阔性和变通性。G.波利亚说：“掌握数学就意味着要善于解题。”一语道出了数学教学的根本目的――提高学生探索和解决问题的能力，培养学生的数学创新精神。我们在求解一个新问题时，只有透彻理解数学思想、数学方法并融会贯通，才能建立新模型，提出新思想、新方法和最优方案。而一题多解的思想具有对所学知识加以融会贯通的作用，不仅仅体现了解题能力的强弱，更重要的是其具有开放式思维特点，是一种培养创新能力的重要思维方法。因此，一题多解和多解一题应当成为我们掌握数学知识和探索数学思维规律的重要手段，也应成为数学教学的闪光点。

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