多元回归分析在变形监测数据处理中的应用

[摘要]论文在分析多元回归方程的建立和显著性检验的基础上，结合某住宅楼的沉降监测数据，考虑建筑物的荷载与时间同沉降观测值之间的关系，建立了回归方程，并对回归方程了的显著性和系数的显著性进行检验，验证了变形分析模型的正确性。

[关键词]回归分析 变形监测 模型

[中图分类号] X830.3 [文献码] B [文章编号] 1000-405X（2013）-9-137-2

变形的物理解释主要目的是确定变形体空间状态及其变化与变形因素（或称之为作用于变形体的力）之间的关系，变形物理解释方法可以分为统计分析法、确定函数法以及混合模型法3类。本论文通过多元统计分析方法，建立沉降量与建筑物荷载和时间之间的关系。

1工程概况

某住宅楼位于朝阳区建国门外大街国贸桥东南角，总建筑面积约50000平方米，地下三层，地上二十二层，剪力墙结构，天然地基。从2002年4月9日开始观测，至2002年9月30日，建筑物结构施工期间，共进行了13次观测。

2多元线性回归分析模型

多元线性回归法是指研究一个因变量与多个自变量之间的不确定关系方法，此方法通过分析观测的变形值和外界因素之间的相关性来建立因变量与变形因子之间关系的数学模型，其数学模型为：yt=β0+β1xt1+∧+βpxtp+εt （3-0），（t=1，2，∧，n），εt～N（0，σ2）。式中，yt表示观测值变形量，共有n组观测数据；p表示因子个数。由以下几步构成：

建立多元线性回归方程

多元线性回归数学模型如式（3-0）所示，用矩阵表示为：y=xβ+ε（3-1）式中，y为n维变形量的观测向量，y=（y1，y2，∧，yn）T；x是一个n×（p+1）矩阵，它的元素是可以精确测量或可控制的一般变量的观测值或它们的函数，其形式为：

β是待估计参数向量（回归系数向量），β=（β0，β1，∧，βp）T，ε是服从同一正态分布N（0，σ2）的n维随机向量，ε=（ε1，，ε2，…，εn）T。

回归方程显著性检验

实际问题中，其实我们并不能断定因变量y与自变量x1，x2，∧，xp之间是否确定有线性关系，在求线性回归方程之前，线性回归模型（3-0）只是一种假设，尽管这种假设常常不是没有根据的，但在求得线性回归方程后，还是需要对回归方程进行统计检验，以给出肯定或者否定的结论。如果因变量y与自变量x1，x2，∧，xp之间不存在线性关系，则模型（3-0）中的β为零向量，即有原假设：H0：β1=0，β2，∧，βp=0，将此原假设作为模型（3-0）的约束条件，求得统计量F=（S回/p）/（S剩/（n-p-1）） （3-3）

回归系数显著性检验

回归方程显著，并不意味着每个自变量x1，x2，∧，xp对因变量y的影响都显著，我们总想从回归方程中剔除那些可有可无的变量，重新建立更为简单的线性方程。如果某个变量xi对y的作用不明显，则模型（3-0）中它前面的系数βi就应该取为零，因此，检验因子xi是否显著地原假设应为：H0：βi=0，在进行回归因子显著性检验时，由于各因子之间的相关性，当从原回归方程中剔除一个变量时，其它变量的回归系数将会发生变化，有时甚至会引起符号的变化，因此，对回归系数进行一次检验后，只能剔除其中的一个因子，然后重新建立新的回归方程，再对新的回归系数逐个进行检验，重复以上过程，直到余下的回归系数都显著为止。

3变形数据分析

在考虑到施工进度和沉降量统计分析的基础上，由于建筑物的沉降和时间间隔以及上部荷载有直接关系，所以可以把时间作为一种影响因子，把荷载作为另一种影响因子，然后建立线性回归模型。

取前11期数据作为线性模型的起算数据，令时间为自变量X1，1荷载量为自变量X2，将沉降量作为因变量Y，由原数据可知，n为11，p为2，y=（y1，y2，∧，y11）T，x为11×3的矩阵， ；

由此可以得到模型的线性方程为：Y=0.3839X1-1.4432X2+0.8574。

4实际回归方程显著性检验

如果因变量Y与自变量X1和X2之间不存在线性关系，那么模型（3-5）中的β为零向量，即有原假设：H0：β1=0，，β2=0，β3=0，将此原假设作为模型（3-5）的约束条件，求得统计量F=（S回/p）/（S剩/（n-p-1））（3-6），其中，n=11，p=2， ， ， 。将观测数据以及计算出的模型数据代入上面的计算公式中，可以得出 ，S回=203.98，S剩=0.22，并将此代入式（3-6）中可以得到统计量F=（203.98/2）/（0.22/（11-2-1））=3708.73。

假设原假设成立，则统计量F应服从F（2，8）分布，选择显著水平α为0.05，用下式检验原假设：p{|F|≥F0.9（2，8）|H0}=0.05（3-7），求得F的临界值为0.22，很明显统计值3708.73远远大于临界值0.22，所以上式（3-7）成立，y对X1和X2有显著线性关系，因此方程是显著的。

5实际回归系数显著性检验

对于回归方程Y=0.3839X1-1.4432X2+0.8574来说，虽然它是显著的但不意味着它的变量也都是显著的，所以需要剔除其中可有可无的变量，重新建立回归线性方程。如果其中一个变量对Y的作用不显著，那么它前面的系数就应该取零，因此，检验变形因子是否显著的原假设应为：H0：βj=0，由公式（3-0）可估算求得：

式中，cjj为矩阵（xTx）-1中的第j个 元素，于是在原假设成立时，统计量 ， ，S剩/σ2～x2（n-p-1），所以可以组成统计原假设的统计量（β2j/cjj）/（S剩/（n-p-1））～F（1，（n-p-1）），如果原假设成立，那么应服从F（1，8）分布。分子 通常又称为因子xj的偏回归平方和，选择相应的显著水平α，本文选α=0.05，查表得分位值F1-0.05，（1，8），若统计量|F|>F1-0.05，（1，8），则认为回归系数 在1-0.05的置信度下是显著的，否则是不显著的。

本文中可以求得矩阵（xTx）-1=

当j=1时，原假设的统计量为（0.38392/8.7323）/（0.22/8）=0.61，查表F1-0.05，（1，8）为0.19，很明显统计量大于分位值F1-0.05，（1，10），所以系数β1是显著的。当j=2时，原假设的统计量为（（-1.4432）2/0.5236）/（0.22/8）=144.65，此时的统计量远远大于分位值F1-0.05，（1，10），所以系数β2也是显著的。

6结论与展望

本文主要是针对多元线性回归分析的研究，以建筑物沉降累计值为因变量，建筑物的荷载与时间间隔为自变量对线性模型进行了研究，通过实例数据的结果验证了变形分析模型在此建筑物中的可行性，为直接将影响变形的因素纳入模型提供了参考。除此之外，由于不同的建筑物荷载存在差异以及不同地区的土质抗压能力不同等原因，文中的模型可能存在一定的局限性，所以应用此模型还需要大量的实例验证，甚至对荷载因子进行变换，才能使模型有较好的拟合度。本文中回归分析法应用于变形监测数据处理只是一个初步的研究，如果要将更多的变形因素纳入模型中并有更广泛的应用，还需要我们进行更深层次的研究。

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