判别函数项级数一致收敛方法

【摘要】 本文对函数项级数一致收敛的常用判别法进行了较为系统的归纳和总结。首先对用定义判断函数项级数一致收敛的方法进行了研究，介绍了函数项级数一致收敛的充要条件，近而提供了证明函数项级数一致收敛的一般方法。接着介绍了较为方便适用的一致收敛判别法---柯西收敛准则和M—判别法。

【关键词】 函数项级数 一致收敛 判别法

【中图分类号】 G71 【文献标识码】A 【文章编号】 1006-5962（2012）07（b）-0137-01

1 运用定义判断

函数项级数一致收敛的定义：设是函数项级数的部分和函数列，若在数集D上一致收敛于函数，则称函数项级数在D上一致收敛于函数，或称在D上一致收敛。（法）

定理：若对使得，并且当时有。则当时一致收敛于。（放大法）

例：若在上可积，。且与在上都可积。设

则在上一致收敛于。

证明：

（柯西不等式）

所以时， 一致收敛于。

2 确界充要条件

确界充要条件：函数项级数在数集D上一致收敛于的充要条件是：。

例：在上的函数项级数（几何级数）一致收敛。

证明：因为函数项级数的部分和函数为

所以

所以

则函数项级数在上一致收敛得证。

3 一致收敛的柯西准则

柯西准则：函数项级数在数集D上一致收敛的充要条件为：对任意正数，总存在某正整数N，使当时对一切和一切正整数P，都有或

例：证明函数项级数在区间上一致收敛。

证明：对任意有：、递减、。

则由莱布尼兹判别法知在区间上收敛。

对，当时，对及，有：

则级数在区间上一致收敛。

4 M—判别法及其推论

M—判别法：设函数项级数定义在数集D上，为收敛的正项级数，若对一切有，，则在D上一致收敛。

例：求证函数项级数在上一致收敛。

证明：对一切的有，又正项级数是收敛的，

所以由M—判别法证得在上一致收敛。

参考文献

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[2] 邝荣雨.数学分析题集.北京教育科学出版社.1997：401-407.

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