浅议高中物理中的微元、累积法

微元、累计法在高中物理中出现得非常普遍，物理概念的建立及理解中常出现它的踪迹；公式的推导与应用中也会留下它的印痕；有些习题的分析思路也离不开它的帮助。可以说，微元、累积法贯穿在整个高中物理的学习中。

所谓微元法，是把某一过程分成无数个细小的部分，这一部分就成了一个独立的、特殊的元量。所谓累积法，就是把各个元量相加求和。下面我们具体来看一看微元、累积法的应用。

一、微元、累积法在概念中的应用

1.高一物理选修一在速度的概念建立中就运用了微元法。物体在一段时间内的位移与这段时间的比值等于这段时间内的平均速度。当时间不断缩小，t0时，此时的平均速度就是某一时刻的瞬时速度，瞬时速度的大小叫瞬时速率，而平均速度的大小不叫平均速率。为什么呢？时间无限缩小时，在极短的时间内物体的运动可看成匀速直线运动，位移大小等于路珵。但在某一段时间内，位移大小是小于等于路程的。平均速率=■，而平均速度=■，所以，平均速度的大小不叫平均速率。

2.微元、累积法在热学中的应用。热学中对气体压强的微观解释说：气体的压强与分子的热运动及气体的密集程度有关。气体压强是由分子的碰撞产生的。如果利用微元、累积法，就能把气体压强产生的原因与影响气体压强大小的因素很好地联系起来。

设气体的密集程度为N，随着气体分子运动的机率性，向每一个方向运动的单位面积的气体分子数为■。在极短的时间t内，这些分子同时碰撞在单位面积上，它们发生了弹性碰撞。每个分子的平均质量为m，平均速率为v，每一个分子碰撞产生的平均作用力为F。由动量定理可知：-Ft=-2mv，则F=■。宏观上压强P=■，分子t时间内碰撞的总数是■S总。分子总的作用力F总=■F=■。此式说明压强取决于分子的密度程度及分子的平均动能，所以气体的压强由分子的热运动及气体的密集程度决定。

二、微元、累积法在公式推导中的应用

匀变速直线运动中物移计算公式就是应用微元、累积法进行推导的。物体做匀速直线运动时，位移x=vt。把物体做匀变速直线运动的过程分成无数个很短时间内的运动过程，这些过程都看成一个微元量，每一个元量都近似地看成匀速直线运动，则总位移x总=v1t+v2t+v3t+…+vnt。在匀速直线运动中的v-t图象中位移等于图象面积的大小。则x总就等于无数个矩形面积的大小之和。如图1，如果时间t足够小时，则无数个矩形面积之和等于梯形ABCO的面积，则匀变速直线运动的位移公式x=■t，v2=v1+at，则x=v1t+■at2。

在探究弹性势能的表达式时也要应用微元、累积法。

弹簧的弹性势能等于克服弹簧弹力做的功，即Ep=

-W弹。把弹簧的伸长x看成是无数段小位移x组成，则x=nx。由于x很小，在这段位移中弹簧弹力可近似看成不变。弹力做的功W弹=-F1x-F2x-F3x+…+（-Fn·x），

F1=kx；F2=k·2x；F3=k·3x，…；

Fn=k·nx

则W弹=-kx2（1+2+2+…n）=■

又x=nx，且n很大，则n≈n+1

则W弹=-■，即弹簧的弹性势能Ep=■kx2。

微元、累积法不仅在力学公式推导中有应用，在电学中也有它的应用。

电流微观表达式就应用了它的分析方法。

设电荷在导体中定向移动的速度为v，单位体积中的自由电荷数为n，每个自由电荷的电荷量为q。把每一个自由电荷当作一个元量，t时间内每一个元量向前移动的距离为l，则通过导体横截面的数量N为：N=nls，s为导体的横截面积。由电流的定义式I=■有：式I=■，I=■=nqvs，可见电流的大小与每一个自由电荷定向移动的速率及n、q、s都有关系。

三、微元、累积法对公式应用的帮助

W=FLcosθ是功的计算公式，它只适合于求恒力做功。但在实际应用中，我们有时要求变力做功，这就不得不求助于微元、累积法这种思维方法了。

如果力的大小不变，方向始终与速度方向相反时，怎样求这个变力所做的功呢？

例1：手拉着用细绳拴着的小球在水平桌面上做圆周运动，求转一圈时摩擦力做的力。

把小球运动的圆周周长l分成无数段元量x，l=

nx，在每一个元量中，把小球的运动看成是直线运动，则路程与位移大小 相等。在这个元量中，摩擦力f做的功W1为：W1=-fx。同理，在其余元量中摩擦力做功W2=-fx……Wn=-fx。转一圈时摩擦力做的功

W总=-fx-fx-…-fx

W总=-f（x+x+…+x）=-fnx=-fl

表达式中说明力f做的功的大小等于力与路程的乘积。

在电磁感应的习题中，计算通过导体横截面的电荷量时也会用到微元、累积法。

例2：如图2，光滑的水平导轨宽为l，磁场的磁感应强度为B，当质量为m的导体以速度v0向右运动时，求通过电阻R的电荷量Q。

常规解答如下：由动量定理：-F安t=0-mv0，2F安=BIl则BIlt=mv0，Q=It，故Q=■。学生对以上解答中的平均安培力F安感到无法理解，同时也对Q=It，表示怀疑。如果用微元、累积法的思维过程解答，则能更深刻地剖析其中的规律。

把导体的运动看成无数段微小时间t的运动过程组成，每一过程中的速度变化不大，则认为安培力F不变。由动量定理有：-F1t=mv1-mv0；-F2t=mv2-mv1；-F3t=mv3-mv2；…-Fnt=0-mvn-1。

各式相加有：-F1t-F2t-F3t-…Fnt=0-mv0

F1=BI1l；F2=BI2l；F3=BI3l；…Fn=BInl

则：BI1lt+BI2lt+BI3lt+…+BInlt=mv0

Bl（I1t+I2t+I3t+…+Int）=mv0

Bl（Q1+Q2+Q3+…+Qn）=mv0

故Q=Q1+Q2+Q3+…+Qn=■

以上各种知识的剖析说明微元、累积法是一种非常科学、实用的方法。学生在学习中能通过此方法更清晰地知道整体与个体的变化关系，在学习有关的物理规律和知识时更容易把知识的特殊性与一般性联系起来。是基础教育中培养学生的分析能力、判断能力及创新能力的必备方法之一，同时，它还为高等教育中学生学习微积分、量子物理打下了坚实的基础。在新课改理念的指导下，我们对此方法要加以重视。