否命题与命题的否定辨析

否命题和命题的否定在逻辑上是两个极易混淆的概念，加之课本上没有详细罗列和区分，因此它是“常用逻辑用语”中的一个难点. 许多同学对这两个概念模糊不清，即使能够区分开来，却不能正确地书写.

否命题和命题的否定的区别如下. （1）从概念上看：否命题和命题的否定是两个完全不同的概念.（2）从形式上看：对“若[p]，则[q]”形式的命题而言，其否命题为“若[?p]，则[?q]”;而命题的否定为“若[p]，则[?q]”.（3）从对象上看：否命题一般针对“若[p]，则[q]”形式的命题和可以改写成“若[p]，则[q]”形式的命题而言;而任何命题都有其命题的否定.（4）从真值上看：否命题的真假性与原命题的真假性没有关系;而命题的否定的真假性与原命题的真假性相反.

“若[p]，则[q]”形式的命题的否命题及命题的否定

例1 写出下列命题的否命题及命题的否定，并判断其真假.

（1）若[m>0]，则方程[x2+x-m]有实数根;

（2）若[f（x）]是正弦函数，则[f（x）]是周期函数.

解析 （1）否命题：若[m≤0]，则方程[x2+x-m]没有实数根.这是假命题.

命题的否定：若[m>0]，则方程[x2+x-m]没有实数根.这是假命题.

（2）否命题：若[f（x）]不是正弦函数，则[f（x）]不是周期函数.这是假命题.

命题的否定：若[f（x）]是正弦函数，则[f（x）]不是周期函数.这是假命题.

点拨 对“若[p]，则[q]”形式的命题而言，其否命题为“若[?p]，则[?q]”，即条件和结论都要否定;而命题的否定为“若[p]，则[?q]”，即不否定条件，只否定结论.

可改写为“若[p]，则[q]”形式的命题的否命题及命题的否定

例2 写出下列命题的否命题及命题的否定，并判断其真假.

（1）矩形的对角线相等;

（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.

解析 （1）原命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线相等.

否命题：若一个四边形不是矩形，则这个四边形的对角线不相等.这是假命题.

命题的否定：若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线不相等.这是假命题.

（2）原命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到这条线段的两个端点的距离相等.

否命题：若一个点不在线段的垂直平分线上，则这个点到这条线段的两个端点的距离不相等.这是真命题.

命题的否定：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到这条线段的两个端点的距离不相等.这是假命题.

点拨 对于形式上不是“若[p]，则[q]”形式的命题，应该首先改写成“若[p]，则[q]”形式的命题，再写其否命题和命题的否定. 改写时，应注意区分哪是条件，哪是结论.

含有逻辑联接词的命题的否命题及命题的否定

例3 写出下列命题的否命题及命题的否定，并判断其真假.

（1）若[m≤2]且[n≤3]，则[m+n≤5];

（2）若[x=1]或[x=-1]，则[x2=1].

解析 （1）否命题：若[m>2]或[n>3]，则[m+n>5].这是假命题.

命题的否定：若[m≤2]且[n≤3]，则[m+n>5].这是假命题.

（2）否命题：若[x≠1]且[x≠-1]，则[x2≠1].这是真命题.

命题的否定：若[x=1]或[x=-1]，则[x2≠1].这是假命题.

点拨 对于含有逻辑联接词的命题的否定，要注意“[p]或[q]”的否定是“[?p]且[?q]”，“[p]且[q]”的否定形式是“[?p]或[?q]”.第（1）小题的常见错误是把否命题写成“若[m>2]且[n>3]，则[m+n>5]”;第（2）小题的常见错误是把否命题写成“若[x≠1]或[x≠-1]，则[x2≠1]”.

含有大前提的命题的否命题及命题的否定

例4 写出下列命题的否命题及命题的否定，并判断其真假.

（1）当[c>0]时，若[a>b]，则[ac>bc];

（2）在[ABC]中，若[A>B]，则[sinA>sinB].

解析 （1）否命题：当[c>0]时，若[a≤b]，则[ac≤bc].这是真命题.

命题的否定：当[c>0]时，若[a>b]，则[ac≤bc].这是假命题.

（2）否命题：在[ABC]中，若[A≤B]，则[sinA≤sinB].这是真命题.

命题的否定：在[ABC]中，若[A>B]，则[sinA≤sinB].这是假命题.

点拨 对于含有大前提的命题，在写其否命题和命题的否定时，应保持大前提不变.

含有“都是”的命题的否命题及命题的否定

例5 写出下列命题的否命题及命题的否定，并判断其真假.

（1）若两个整数[a]，[b]都是偶数，则[a+b]是偶数;

（2）若[x2+y2=0]，则[x，y]全为0.

解析 （1）否命题：若两个整数[a]，[b]不都是偶数，则[a+b]不是偶数.这是假命题.

命题的否定：若两个整数[a]，[b]都是偶数，则[a+b]不是偶数.这是假命题.

（2）否命题：若[x2+y2≠0]，则[x，y]不全为0.这是真命题.

命题的否定：若[x2+y2=0]，则[x，y]不全为0.这是假命题.

点拨 含有“都是”的命题的否定，要注意全盘否定. 第（1）小题的常见错误是把否命题写成“若两个整数[a]，[b]都不是偶数，则[a+b]不是偶数”;第（2）小题的常见错误是把否命题写成“若[x2+y2≠0]，则[x，y]全不为0”.

总之，要准确无误地写出一个命题的否命题和命题的否定，需要认真审题，特别要审视关键性的字眼. 对于简写形式的命题，不妨还本归真，才能透过现象看本质，从而增强判断是非的能力和推理能力.

练习

写出下列命题的否命题及命题的否定，并判断其真假.

（1）若[a>0]，则[a2>0];

（2）奇函数的图象关于原点对称;

（3）若[x>1]或[x<-1]，则[x2>1];

（4）当[c<0]时，若[a>b]，则[ac<bc];

（5）若两个整数[a]，[b]都是奇数，则[a+b]是奇数.

参考答案

（1）否命题：若[a≤0]，则[a2≤0].这是假命题.

命题的否定：若[a>0]，则[a2≤0].这是假命题.

（2）否命题：若一个函数不是奇函数，则这个函数的图象不关于原点对称.这是真命题.

命题的否定：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象不关于原点对称.这是假命题.

（3）否命题：若[-1≤x≤1]，则.这[x2≤1]是真命题.

命题的否定：若[x>1]或[x<-1]，则[x2≤1].这是假命题.

（4）否命题：当[c<0]时，若[a≤b]，则[ac≥bc].这是真命题.

命题的否定：当[c<0]时，若[a>b]，则[ac≥bc].这是假命题.

（5）否命题：若两个整数[a]，[b]不都是奇数，则[a+b]不是奇数.这是假命题.

命题的否定：若两个整数[a]，[b]都是奇数，则[a+b]不是奇数.这是真命题.