时间:2022-07-16 07:09:41
相似三角形在中考中应用特别广,无论是填空、选择,还是综合应用题,大多要用到相似三角形,但在复杂的几何图形中很难分辨出相似三角形.其实不管多复杂的几何图形都是由基本图形复合而成,因此熟悉相似三角形的基本图形,有助于快速准确地识别相似三角形,从而顺利找到解题的思路和方法.相似三角形基本图形主要有以下几种:
如图1,在ABC中,点D在AB边上,点E在AC边上.当DE∥BC时,ADE∽ABC,我们称之为“A”字型,由“A”字型可得,AD・AC=AE・AB;如图2,当∠ADE=∠C时,ADE∽ACB,我们称之为反“A”字型,由反“A”字型可得,AD・AB=AE・AC.如图4,在ABC中,点D在CA边的
延长线上,点E在BA边的延长线上,当
∠AED=∠B时,AED∽ABC,我们称之
为“8”字型,由“8”字型可得,AD・AB=AE・
AC;如图5,当∠ADE=∠B时,ADE∽
ABC,我们称之为反“8”字型,由反“8”字
型可得,AD・AC=AE・AB,若连接线段BD和
CE,可得ABD∽ACE.
如图7和8,在ABC中,点D在AB边上,当∠ADC=∠ACB时,ADC∽ACB,我们称之为“子母”型,由“子母”型可得,
AC2=AD・AB;如图8,当∠ADC=∠ACB=90°时,ADC∽ACB∽CDB,还可得BC2= BD・AB,CD2=AD・DB.
例:如图9,已知AB∥CD,AD、BC相交于点E,F为EC上的点,且∠EAF=∠C.
求证:AF2=EF・FB.
解析:由AB∥CD
得∠B=∠C,
又∠EAF=∠C,∠EAF=∠B.
AEF∽BAF(“子母”型).
AF
FB
如图10,在ABC中,点E在AB边上,点D在AC边上,∠AED=∠B.将AED绕点A旋转一定的角度,如图11,则AED∽ABC,我们称之为“旋转”型.
如图13,点A在线段CD上,当∠ACB=∠BAE=∠ADE时,EAD∽ABC,我们称之为“M”型.
例:如图14,在等腰ABC中,∠ACB 120°,点D在AB边上,∠EDF=30°,点E在AC边上,点F在BC边上,求证:ADE∽BFD.
解析:由等腰ABC,∠ACB=120°得∠BAC=∠CBA=30°,
∠AED+∠ADE=150°.∠EDF=30°,∠BDF+∠ADE=150°.
∠AED=∠BDF.ADE∽BFD
很多几何题并不直接给出这样的基本图形,需要我们添加辅助线构造这些基本图形,从而得到解题思路.
例:把边长为15的等边ABC折叠使点A落在线段BC上一点D处,且BD∶DC=1∶4,设折痕为MN,点M在线段AB上点N在线段AC上,求AN的长.