材料力学教学中加强高等数学知识的运用,培养学生科学思维能力

[摘 要]在材料力学教学中加强数学知识的联系和运用，一方面能够帮助学生巩固数学知识，提高运用数学知识解决力学问题的能力，另一方面基础课与技术基础课之间前后呼应的教学方式可以调动学生思维的积极性，有利于培养学生科学思维能力。

[关键词]材料力学 高等数学 科学思维

[中图分类号] G642.0 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2013）23-0058-02

一、引言

在材料力学教学中，往往要用到许多数学知识。如何引导学生将所学到的知识应用到新的学习中去，如何培养学生具有良好的数学修养，单纯靠高等数学一门功课的学习是远远不够的。高等数学课程给学生奠定了数学基础，但大部分同学会感到，学习这么多的数学知识用在何处？材料力学作为机械类专业的技术基础课程，在基础课与专业课的学习中起到“桥梁”的作用，对专业课的学习有着举足轻重的地位。如果教师在教学过程中能够很好地将数学知识与所学的力学知识联系起来，一方面能够帮助学生巩固数学知识，提高学生运用数学知识的能力，另一方面也使力学教学达到承前启后的作用，活跃了课堂教学气氛，从而激发学生学习的兴趣，培养了学生的科学思维能力。

二、利用函数曲线与一阶导数、二阶导数的关系，快速画出梁的内力图

在材料力学[1]的教学中，作杆件的内力图贯穿了材料力学教学过程的始终。而在所有的内力图中，尤以弯曲变形的内力图比较繁杂，但也不是没有规律可循。梁在工作时受到的外力分为：集中载荷、分布载荷。在授课过程中，以高等数学中函数与一阶导数、二阶导数之间的关系为基础，引导学生分析在每一种载荷作用下梁的内力图的变化规律，进而利用这些规律快速作出梁的内力图，从而找到梁的危险面。

（一）函数曲线与一阶导数、二阶导数之间的关系

由高等数学[2]可知：在自变量的某区间内，函数的一阶导数大于零，函数单调上升；一阶导数小于零，函数单调下降；一阶导数等于零（驻点）处，函数可能取得极值；如果在驻点函数的二阶导数大于零，函数曲线呈凹弧；函数的二阶导数小于零，函数曲线呈凸弧；在函数的二阶导数等于零处，如果该点的左右两侧二阶导数改变符号，该点成为函数曲线的拐点。

（二）材料力学中弯矩、剪力、分布载荷之间的微分关系的利用

在材料力学中弯矩、剪力、分布载荷三者之间的微分关系是：■=Q（x），■=q（x），■=q（x）（代表任意截面的位置）。

基于以上微分关系，在教学中总结出以下几点要诀，帮助学生快速掌握微分关系画图的技巧。

1.简支梁的两端、悬臂梁的自由端，剪力的大小就是该处支座反力或集中载荷的大小；方向满足“左上右下”；如果该处没有外力偶，那么该处的弯矩一定为零。

2.均布载荷等于零的一段梁内：剪力图形状为水平直线，弯矩图形状为斜直线；剪力大于零，弯矩图上升；剪力小于零，弯矩下降；剪力等于零的一段梁上，弯矩图保持水平。

3.分布载荷不为零的一段梁内：分布载荷向上，剪力图为上升的直线，弯矩图为凹弧；分布载荷向下，剪力图为下降的直线，弯矩图为凸弧。

弯矩图与分均布载荷方向之间的关系为：“下雨天打伞”（图1）。把均布载荷比喻是濛濛细雨，而弯矩图正是自己在濛濛细雨下撑的一把油纸伞，永远保护自己不受风雨的侵袭。

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4.在剪力图的直线上升或直线下降中，即剪力由大于零到小于零或由小于零到大于零的变化过程中，必然经过剪力等于零的一截面，在该截面处，弯矩取得极值。如果剪力图由大于零到小于零，弯矩图在该截面处取得极大值；如果剪力图由小于零到大于零，弯矩图在该截面处取得极小值。

5.在集中力作用面的左右两截面处，剪力图发生突变，突变量即是集中力的大小。集中力向上，剪力图上突；集中力向下，剪力图下突。在该截面处弯矩图发生转折。

6.外力偶作用面的左右两侧截面上弯矩图发生突变，顺时针的外力偶弯矩图上突；逆时针的外力偶弯矩图下突。突变量为外力偶矩的大小。在该截面处剪力图保持不变。

三、应用极值的概念求力学的最优解，引进优化设计的思想

根据高等数学[3]可知：函数的最大值或最小值可能发生在函数的驻点上，也可能发生在区间的两端点上。在实际问题中，根据问题的本身可以断定所求的量一定存在一个最优解，而且该最优解一定在自变量的定义域内取得。那么如果函数的一阶导数y′=0在定义域内只有一个根，那么该根一定是函数的最优解。

在教学过程中，遇到最优解的问题时，我们的做法是引导学生分清谁是自变量谁是函数，然后通过力学知识把函数与自变量之间的关系正确表达出来，再通过函数的一阶导数为零，得到函数的驻点，从而求得最优解。

例如：从直径为d的圆木中锯出矩形截面梁（图2），使梁承受弯曲正应力，梁的高宽比为多大时，矩形截面梁的抗弯曲能力最强？

根据材料力学知识，梁的抗弯能力越强，抗弯截面系数应越大。故取抗弯截面系数W为函数，高宽比（α=■）为变量。由材料力学知：矩形截面梁的抗弯截面系数为W=■。引入以下两式α=■，b2+h2=d2有：

w=■。

函数对变量取一阶导数，同时令一阶导数等于零，有：

■=■■=0。

求解得到α=■。即矩形截面梁的高宽比为■时，梁的抗弯能力最强。这也就是工程中的优化设计思想的初步形成。

四、利用平面法向向量概念判定构件在外力偶作用下产生的变形形式

在材料力学中，学生完成扭转、弯曲等基本变形的学习后，随即进入构件的复杂变形的学习。在外力偶的作用下，构件发生扭转变形还是弯曲变形，常常使初学者感到困惑。在课堂教学中，引入平面的法向向量概念来区分力偶使构件产生扭转变形还是弯曲变形，会使学生在分析复杂变形时进入柳暗花明的境界。

在教学中把力偶都看作是矢量，方向用“右手定则”来确定。四指顺力偶的方向握，拇指的指向即为力偶矩矢的方向。当拇指的指向与所判定段的横截面的法向向量（或轴线）平行时，力偶使该段产生扭转变形；当拇指的方向与所判定段的横截面的法向向量（或轴线）垂直时，力偶使该段产生弯曲变形；当拇指的方向与所判定段的横截面的法向向量（或轴线）既不平行也不垂直时，力偶使该段产生弯扭组合变形。

如：平面刚架在A端作用有外力偶M，判断刚架的每一段发生何种变形（图3）。应用“右手定则”，四指顺力偶M的方向握。对于AB段来说，拇指与该段截面的法向向量（轴线）重合，力偶M使AB段产生扭转变形；对于BC段，拇指与轴线垂直，故力偶M使BC段产生弯曲变形。

五、结语

作者的实践教学证明，在力学教学中加强数学知识的联系和运用，能够帮助学生巩固数学知识，使得学生对所学过知识有一个总体的脉络梳理，对学到的知识的运用充满信心，完全摒弃了“学了有什么用”的迷茫状态。这种基础课与技术基础课之间前后呼应的教学方式调动了学生积极思考、主动思维的积极性，活跃了力学课堂的教学气氛，提高了课堂学习效率。但在教学过程中要注意把握住以下两点：1.数学、力学之间灵活把握，巧妙处理。力学教学还是以接受力学知识为主导，要求教师能够用通俗易懂、灵活的思维将数学知识带进力学教学中，而不能占据大量的力学教学时间；2.力学、数学知识点的对应要恰到好处，避免把学生带入数学没用好，力学又没学明白的误区，造成事倍功半的不良后果。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 哈尔滨工业大学理论力学教研组[M].理论力学第七版.北京：高等教育出版社，2009.

[2] 刘鸿文.材料力学第四版[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3] 陈庆华.高等数学[M].北京：人民教育出版社，1998.

[4] 同济大学高等数学教研室.高等数学[M].北京：人民教育出版社，1983.