《完全平方公式》的教学思考及作法

在熟练掌握多项式的乘法运算后，认真分析特殊类型的整式乘法的运算规律，用来简化运算，是人们追求简洁的必然结果，怎样让学生经历公式获得及提炼的过程，感悟其作为公式的合理性，在深入理解的基础上灵活运用，是我们教学研究的重点，在学习完全平方公式之前，学生按照“观察——归纳——概括”为主要线索探索学习了平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2。由于公式结构相对简单，经过“观察几个同类多项式乘法运算——提炼概括规律——符号表示——形成公式”的过程后，学生一般都能准确运用，说明这种处理方式是合理的，以往完全平方公式的教学，也沿用了类似的设计方法，但学生理解掌握及运用的情况很不理想，丢项（主要是丢交叉项）、符号混乱等错误层出不穷，对数学基础薄弱、学力较弱的学生而言，这一现象显得更为严重。

义务教育课程标准实验教学科（北师大版）七年级（下）数学教材中，通过比较正方形稻田的面积来发现公式，利用图形直观地解释公式所体现的运算规律，这对加强学生的数学应用意识有一定的帮助，调查发现，前述的错误率有所降低，但仍不是很理想。反映出学生的深层认知理解仍存在问题。因此，笔者进一步调查分析了学生的错误成因，并有如下的几点思考：

一.在分析问题与习题的讲解过程中，设置错题陷阱，使学生发现问题.

我曾调查过多个学生，希望了解为什么会把公式背得滚瓜烂熟，意义也能说得一字不差，但却常常发生（a+b）2=a2+b2, (a-b)2=a2-b2的错误，多数学生都说自己也不知为什么会这样，但这种错误确实根深蒂固，很随意就写了下来了。仔细分析(a+b)2=a2+b2, (a-b)2=a2-b2，我发现与以往习得的正确结论(a•b)2=a2•b2、（a÷b）2=a2÷b2在形式规律上有一致性。学生建立相关图式的认知生长点就是(a•b)2=a2•b2、(a÷b)2=a2÷b2，而新旧知识之间建立联系的心理依据便是形式规律的永恒性，而这种联系是非实质的，实际上，真正合理的生长点应该是x2的代数乘方意义及正方形面积的几何意义。

学生发生这种错误类比，一方面反映他们对(a•b)2=a2•b2、(a÷b)2=a2÷b2的掌握已经非常稳固，另一方面表明他们已有了根据算式结构特征去大胆联想的良好创新意识，这是好事。如果能让他们对这种错误联系有清醒的认识，这种出乎他们意料的错误不但会使他们参与寻找正确结论的热情提升，而且也能丰富把(a+b)2=a2+2ab+b2、(a-b)2=a2-2ab+b2作为公式的合理性。

我们先尝试通过学习后的对错误进行辩析来补求，但通过对学生思维进行的调查表明，这种情况在总体上的改观仍不是很理想！显然，对事物的初体验还是印象最深的。

于是，一开始在问题的引入中，我们出示了下面的学习案例：

小华是个勤于思考的好学生，他发现

（a•b）2=a2•b2，(a÷b)2=a2÷b2

于是他猜想

（a+b）2=a2+b2，(a-b)2=a2-b2

他的猜 想对吗，请你用简单的方法加以验证。

让学生先对基于形式规律的永恒产生的猜想（但在本处确是错误的）进行运算验证，体验错误，分清新知识的错误生长点，辩析其与新知识之间的非实质联系，切断其与新知识之间的不必要的甚至是错误的联系，不但可以为新知识的正确建构扫清认知障碍，而且能激发他们利用合理的知识生长点正确建构新知识的热情。

二、让学生自主探索，合作交流，体会公式实质.

当学生已经发现（a+b）2=a2+b2是个错误后，为了帮助学生最终建立关于完全平方公式的正确认知图式，需要根据学生的认知习惯，提供多维度的认知刺激。例如，可以让学生把自己取数值检验的情况列成下表，加深对数值检验时所发现的错误中所包含的必然规律：

a b (a+b)2 a2+b2 两边的差

数值 1 1 4 2 2

2 1 9 5 4

3 4 49 25 24

4 5 81 41 40

可发现规律“差值恰好是两数积的2倍”后，再鼓励学生用多项式乘法法则直接运算，由运算进行理性推导；通过比较教材上所出示的稻田的面积，利用图形进行直观解释。

当学生获得公式后，注意让学生通过独立思考、合作交流，对自己和他人的探究过程中的“战果”细细玩味，从形式与实质上去概括、把握公式的特征——即关注实质意义：“两数和（差）的平方等于两数的平方和，加上（减去）”两数积的2倍，又有形式变化特点：“二项式平方——三项式（完全平方式）”“两项同号时，积的2倍取正，异号时，积的2倍取负”。

三、提炼口廖是加深理解的好方法

当学生获得公式后，及时鼓励他们对公式的特点、意义、运用要领加以概括，既能锻炼他们的概括能力，也能使他们的理解更准确，应用更灵活，如我班学生就把公式概括为口廖“和平方，差平方，前后两数都平方，积的2倍在中央！”把运用要领概括为“加减先定，两数认准；各自平方，乘积取双；乘积符号，左右相当；项有三项，不可遗忘。”。

四、让反思贯穿于数学学习活动的始终

“反思是数学思维活动的核心”，为了促进学生的理解，在整个教学过程的各个环节中，都有意识地引导学生进行反思，一开始，通过学生对类比猜想的结果（a+b）2=a2+b2、(a-b)2=a2-b2进行反思、验证，激发了探究热情；在找到结论后，又通过对结果的价值反思，初步感受到将结论固化为公式的合理性。此时，我先给了学生下面一组练习：

例1运用公式计算

（1）(2x-3)2（2）(-4x-5)2

例2 下列各式对吗，将错的改正：

（1）(a+5)2=a2+10a+25;

（2）(2a-3)2=2a2-6a+9

让学生独立完成，交叉评改后，再让学生谈谈解题心得，老师再总结。

学生你一言，我一语，当我提议把反思结果概括成口诀时，大家七嘴八舌，很快便有了前面提到的关于概念运用的口诀。

最后，我又进一步让学生反思前面解题过程，看其中的a、b所代表的意义，让学生明确其中的a、b可以代表具体的数、式后，让学生自己编一些比较复杂的问题相互测试，于是，学生开始自己尝试对a、b从项数、次数、符号三方面进行变式，自己编出了类似“计算(2a+b-c)2、( )2”的好题，深化了认知，提高了问题转化、举一反三的能力，整个学习从反思中开始，在反思中结束，教学实践表明，效果相当理想。