数形结合 辨析概念

在第八届全国初中数学青年教师优秀课观摩与评比活动中，江西省赣县第二中学陈科良老师参加比赛的课题是《章末复习：有理数的概念及加减运算（第一课时）》，是本次优秀课比赛中唯一的一节复习课型，陈老师以数轴为媒，制作了教具“多功能数轴演示仪”，利用数形结合，“以形助数”辨析有理数的有关概念（有理数、相反数、绝对值等），既增强了对有理数知识的感知、巩固、强化，又培养了学生良好的数感、符号感，获得了现场观摩教师及评委给予的高度评价，荣获了全国一等奖。现撷取部分教学片段与大家共赏。

以形助数 直观感悟概念

师：同学们，在我们的生活中处处都有丰富的数，如刻画生活中的温度、水位、走向、存款的存取、零件误差等都需要用数来表示。在下列数中，你能用数轴上的点把它们表示出来吗？

生：能。（学生动手实践，在数轴上分别确定表示这些数的点）

师：请你说说这些数各是哪类有理数？有理数可以怎样分类？

师：根据这些数在数轴上的位置，你想说点什么？

生3：我发现负整数、负分数在原点的左侧，正整数、正分数在原点的右侧，原点O是正负数的分界点。

生4：从左往右看，数越来越大。也就是说，左边的数总是比右边的数小。

生5：所有的有理数，都可以用数轴上的点来表示。

师：同学们真聪明！我们可以借助数轴直观地发现许多与数有关的问题。用数轴上的点表示有理数对数学的发展起了重要的作用，陈老师制作了一个“多功能数轴演示仪”，请你们结合演示仪，说说数轴的三要素有哪些。

（教师归纳：数轴上的原点把数轴分成左右两部分，具有了相反的意义；数轴上的单位长度和方向表示了量的大小及增长趋势。）

负数的引入是由具体数学向形式数学的第一次转折，学生对负数的理解需要借助直观手段加以强化。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”数轴是数形结合的产物，陈老师用数轴上的点直观地表示有理数，从而切入到有理数概念的复习，“以形助数”，帮助学生感悟数轴的方向与数的正负的对应性，有理数与数轴上的点的对应性，加深了对负整数、负分数的理解，便于学生将其纳入新的数系，从而增强了学生对有理数概念的辨析与理解。

师：说说你对相反数的认识。

生：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

（教师强调：只有、两个、互为）

师：若两个数互为相反数，结合数轴，从“数、形”的角度看，它们有什么相同点和不同点？

（学生思考、交流、讨论，教师引导、归结）

生1：从“数”的角度看：若两个数互为相反数，则只有符号不同。

从“形”的角度看：相同点是它们到原点的距离相等；不同点是两个点分别在数轴原点的两侧。

生2：相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。

生3：互为相反数的两个数的和为零。

师：观察数轴，是否所有的相反数都成对出现？

生4：（思考片刻）除0以外，相反数是成对出现的。

（教师演示“多功能数轴演示仪”，按“2”键，“-2”键灯亮……利用教具的直观性帮助学生验证猜想，增强对相反数概念的感性认识）

在本教学片段中，教师充分利用数轴，从互为相反数的两数在数轴上的位置特征入手，使学生从“数”和“形”两个方面再一次理解相反数概念，把一个抽象的相反数的概念，化为直观的几何形象，强化识记概念的本质特征。鼓励学生用自己的语言说出猜想，揭示相反数的几何意义，体会数形结合的思想，整个教学过程自然亲切，水到渠成。

数形转化 升华概念理解

教师演示“多功能数轴演示仪”，按 “2”键，“2与原点间的线段”亮，按“-2”键，“-2与原点间的线段”亮。

师：说说你看到了什么？

生：2与-2到原点的距离相等，也就是说，2与-2的绝对值相等。

师：说说你对绝对值的认识。

生1：一个数的绝对值，就是指数轴上表示这个数的点与原点的距离。

生2：绝对值是非负数，因为绝对值是指距离。

师：你能求出一个数a的绝对值吗？

生3：要分类讨论，字母a可表示任意的数，可以表示正数，也可以表示负数，还可以表示0。

“绝对值”是“距离”这一几何量的代数表示，是基本而重要的代数概念。学生对绝对值概念的学习与理解需要一个循序渐进的过程。陈老师借助数轴，数形转化，从特殊到一般，从具体到抽象，通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻画、理解、辨析绝对值的概念，能从直观上理解数a的绝对值的几何意义，那就是表示数a的点到原点的距离。理解绝对值的几何意义（绝对值是一个距离值），有利于对绝对值非负性的理解，同时渗透了数形结合、分类讨论等数学思想方法。（作者单位：江西省赣县教育局教研室）

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