布朗粒子随机共振的能量传递与转换关系

摘要： 分析了处于双稳势中的布朗粒子在周期力和噪声力作用下功与能量的转换关系。从二维一阶的Langevin方程及等效的FokkerPlanck方程出发，分析了噪声力提供给布朗粒子的瞬时功率。理论分析与数值仿真结果表明，随着噪声强度的变化，噪声力对布朗粒子所作的功与噪声强度成线性关系，而周期力所作的功则呈现出非单调的变化，共振时布朗粒子最大限度地从周期力源吸取能量，吸收功率达极大值；周期力所作的功受控于噪声强度，并不存在噪声与信号之间能量的转移。关键词： 随机共振； 随机能量； 动能定理； FokkerPlanck方程

中图分类号： O324； TB123文献标识码： A文章编号： 10044523（2013）05079205

引言

随机共振是由噪声与非线性的相互作用而产生的[1～3]，它的动力学特性采用Langevin方程来描述，为便于数学上的解析处理，常将运动方程作过阻尼近似而略去惯性项。人们通过调节噪声的强度，计算输出随机变量的功率谱，采用信噪比、功率谱放大率和驻留时间分布等量来刻画随机共振[4～6]。信噪比和驻留时间分布等指标着重刻画的是系统输出的特性，而功率谱放大率刻画的是系统输出与输入的比值关系，这些指标都不能反映噪声与系统相互作用的动态关系，也不能反映外界输入与系统状态的交互作用关系。更为重要的是反映信号频率成分分布的功率谱不同于物理意义上的功率（J/s）。因此，采用这些信息论度量指标不能反映系统演化过程中不同形式能量随时间的变化关系[7]，从而也不可能揭示随机共振的物理本质。

1998年Sekimoto通过引入内能、热量和功等物理量建立了Langevin方程的动力学与热力学的联系，提出了基于单一随机轨线的能量守恒[8]。随后，Iwai等采用随机能量法分析了非平衡过程的能量转化关系，提出了用外部驱动力所作的功作为双稳系统随机共振的一种度量[9～11]。处于双稳势阱中的布朗粒子在周期力、噪声力和阻尼力的共同作用运动，这3个力各自以不同的形式向布朗粒子提供能量。探究随机共振过程这3种不同形式能量之间的关系，对于深入揭示随机共振的物理内涵和共性是极为重要的。

在过阻尼和绝热近似条件下，当不考虑惯性项时，采用相关函数和功率谱分析可求得双稳系统输出的总功率是不依赖于噪声强度的常数，并由此得出共振时存在着噪声能量向信号能量的转移[3，12]。但惯性是布朗粒子运动的本质属性，省略了惯性项的动力学方程不能描述布朗粒子动能的变化，而动能是重要的动力学量和最基本的能量形式，因此有关文献所得出的关于能量方面的结论是有其局限性的[3，12]。本文从布朗粒子运动所遵循的带惯性项的Langevin方程和等效的FokkerPlanck方程出发，通过引入周期力功、噪声力功和阻尼耗散功等3个物理量，分析布朗粒子处于双稳势中3个过程量功的变化关系，着重分析噪声力、周期力对布朗粒子所作的功与噪声强度的关系，揭示随机共振的能量传递与转换关系。

1随机共振的能量关系

3结论

从布朗粒子运动所遵循的带有惯性项的Langevin方程和等效的FokkerPlanck方程出发，通过引入噪声力功、周期力功和阻尼耗散功等3个物理量，分析了噪声力提供给布朗粒子的瞬时功率，建立了阻尼耗散功、噪声力作的功和周期力作的功3个过程量之间的关系。

研究结果表明，噪声力对布朗粒子所作的功与噪声强度成线性关系，而周期力所作的功则受控于噪声强度。双稳系统输出的总功率与噪声强度关系密切，随机共振时布朗粒子最大限度地从周期力源吸取能量，吸收功率达极大值，并不存在噪声与信号之间能量的转移。处于不同阻尼系数下的布朗粒子，产生随机共振需要的噪声能量不同，阻尼系数越大所需的噪声能量也越大。

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