万变不离其规律

内容摘要：数学是一门理性的科学，数学研究的是千变万化中不变的关系，数学教学需要源于生活又要高于生活，注重学生的“究”，加深学生的“悟”，以便更好实现学生知识的“连”。

关键词：规律；猜想；究；悟；连

G623.5

开普勒曾经说过：数学研究的是千变万化中不变的关系。而这种“不变”就是我们所说的――规律。数学规律的得出，都要经历猜测、验证、观察、归纳系列过程。那么，如何让学生在找寻规律的过程中，不断发现，逐步完善，这就需要我们：在变与不变中找寻本质的规律，本文就对此问题进行探讨。

【案例描述】

一、 情境引入，发现规律

1.最近我们学军小学马上要进行体育节三跳比赛，体育组四位老师准备去商店买一些本子作为奖品。李老师、王老师、张老师分别带了40元、120元、240元钱，他们都挑中了单价为4元的本子，你能帮他们算算各自买了几本吗？【出示表格1】

得出3个除法式子：40÷4=10（本） 120÷4=30（本） 240÷4=60（本）

2.胡老师身边有160元，他看中3款单价分别为2元、4元、8元的本子，能买几本？【出示表格2】

得出3个除法式子：160÷2=80（本） 160÷4=40（本） 160÷8=20（本）

3.我们在帮四位老师解决买本子的问题中，你有什么发现？

单价不变，总价乘几，本数乘几

总价不变，单价乘几，数量除以几

[设计意图]

数学问题来源于生活中，而生活中也布满着许多数学问题。“商的变化规律”问题由买本子的情景引入――单价不同，带的钱越多，买到的数量也就越多；带的钱一样多，单价越贵，买到的数量却反而少。这一设计将学生遇到的数学问题带入到生活中，使得数学与生活更好的交融在一起，便于学生理解，使得课堂变的更接“地气”。前面提到这节课要致力于学生充分经历知识“生长”的过程，必然意味着学生要能站在知识生长的起点上，源头处。那么，这样的起点和源头是什么？笔者认为，一部分那就是来源于一些生活经验，利用一些生活经验来解决理解数学问题。

4.通过不完全归纳法得规律：

除数不变，被除数乘几，商乘几

被除数不变，除数乘几，商反而除以几（板书规律）

5.揭题：是呀，被除数和除数的变化都会引起商的变化，今天，我们就要一起研究“商的变化规律”。

二、运用关系，产生现象

第一组：40÷4=10 40÷10=4

120÷4=30 120÷30=4

240÷4=60 240÷60=4

教师变小魔术，课件呈现除数和商互换位置的动画：现在以这组算式为例，如果我们把除数和商互换位置，等式还成立吗？

1. 猜：看到什么有趣的F象，说出你的猜测；

预设：被除数和除数同时乘或者除以一个相同的数，商不变。

2. 验证：一定是这样的吗？你能再写几个验证吗？

活动：小小设计师

写一写 （写几组商不变的除法算式）

找一找 （这些除法算式之间有什么联系）

想一想 （要使商不变，被除数和除数发生怎样的变化，商才是不变的）

汇报：你写了几组？

交流：除法算式中被除数和除数是怎么变化的，商不变。

归纳：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数，商不变。

反思、完善：0的问题

[设计意图]

在这个版块里，我们技巧地、分层次地让学生展示自己的想法，学生的想法逐步由初步感知的“永远写不完”到“乘或除一个相同的数【0除外】，商不变”，最后由式子代替。不仅体现了学生由粗略体验到细致分析、由形象感知到抽象归纳的过程，而且还体验了一把建模的过程。

3.再次出现情境：总价（元） 数量（本） 单价（元）

40 ÷ 10 = 4

120 ÷ 30 = 4

240 ÷ 60 = 4

图像表征，深入理解。

【教学反思】

本节课力图注重学生的“究”，加深学生的“悟”，以便更好实现学生知识的“连”。

一、规律教学追求“究”。

学生自始自终的参与了学习的全过程，举例验证的数据都来自与学生，比较真实，让学生参与发现规律、探究规律、总结规律的过程中，让学生成为学习的主人。独立思考是小组合作的前提，只有经过独立思考才能进行有效的合作。在教学中，笔者设计了让他们独立思考，同桌交流的环节，让学生通过前面的学习，合作归纳出商的变化规律，并让学生展示、汇报成果，体验探究与成功的快乐，真正成为学习的主人。

二、规律教学追求“悟”。

这部分知识对于学生来说比较困难，这三部分内容要放在一个40分钟的课堂里，作为教师，我们无法做到“一碗水端平”，必须抓重点进行教学，避免“囫囵吞枣”。因此，为了将这有限的40分钟用足、用透，教学前测的确可以帮我们不少忙，使得课堂详略得当，有张有弛，花更多的时间在学生的“悟”上。

我们要在学生举例发现验证“商不变”规律过程中放慢脚步，多观察，多比较，分层次反馈学生的作品；我们要在学生体会“商不变”的函数图像中让他们细细品味，多思考，深理解，大胆找生活中的原型。

三、规律教学实现“连”

串连1：拜读过不少 “商的变化规律”优秀案例，发现开头大多是“开门见山”――直接让学生找找算式中的规律。而我这节课的开头设计，其实与开门见山的设计大同小异，只不过给这些算式穿了一件“外衣”――情境。将孩子生活中买东西的经验和数学问题串连，目的只是想通过生活中买东西的经验，对商的变化规律有一些生活中的感悟。

串连2：在前面的学习中，孩子们已经学习了“单价×数量=总价”、“速度×时间=路程”的数量关系，在这样的基础上，学生并不难理解商不变的函数图像――这些点都在一条直线上，原来这些数量关系可以用图来表示。

串连3：老师通过一个小小的魔术：除法算式中的除数变成了乘法算式的乘数，被除数变成了积，原来除法和乘法也有着密不可分的关系。由商不变规律联想到积的变化规律，知识的学习就应该是这样一个“探前探后”的过程，联系巩固前面的知识，为后面的知识做铺垫，是一个“有去有回”的过程。

以上所言，囿于学识，或有不对之处，但，言之未尽，思考不停。