向量旋转的复数方法例说

摘 要：在利用平面向量方法解几何题时，经常会碰到向量旋转的问题，如果不另辟蹊径，往往会引发复杂的运算。

关键词：向量旋转；复数；几何

怎样才能简化运算而使解题过程变得流畅？笔者认为借助复数知识，利用复数运算的几何意义是一种可行的方法，下面举例说明之.

例1.如图1，在ACB和AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=■，连接BD，CE，作∠CEF=■，交BD于F，求证：CE=■EF.

■

分析：本题涉及的两个等腰直角三角形都是由一直角边绕直角顶点逆时针或顺时针旋转90°而成，因此可考虑复数知识去描述。

证：以C点为原点，边CB所在直线为x轴，如图2，建立平面直角坐标系，设A（0，a），则B（a，0），又设E（m，n），则■=（-m，a-n），设ZEA表示向量■=对应的复数（以下同），则ZEA=-m+（a-n）i，

所以Z =i[（-m）+（a-n）i]=（n-a）-mi，

即■=（n-a，-m）.又■=（a-m，-n）.

因为D、F、B三点共线，

所以存在实数λ，使■=λ■+（1-λ）■=（λ（2a-m-n）+n-a，λ（m-n）-m）.

设■=μ■，则ZEF=[（-m）-ni]・μ（cos■+isin■）

=■μ（m+ni）（1+i）=-■μ（m-n）-■μ（m+n）i.

故■=（-■μ（m-n），-■μ（m+n））.

所以-■μ（m-n）=λ（2a-m-n）+n-a-■μ（m+n）=λ（m-n）-m

消去λ，得■=a（m+n）-m2-n2.

化简整理得■μ[a（m+n）-m2-n2]=a（m+n）-m2-n2，

所以μ=■，即CE=■EF.

本题的结论还可以改头换面成求证CFEF或求证CFE是等腰直角三角形。

例2.如图3，四边形AKBC为正方形，AED为等腰直角三角形，∠AED=■，DE交AC于M，且DM=ME，三角形CEM的面积SCEM=■SADM，∠CEF=■，点F在直线DB上，射线CE交AK于P，射线CF交AB于Q.已知DF=■，求PQ.

■

解：以C为原点，CB所在直线为x轴，如图4，建立平面直角坐标系.

设A（0，a），则B（a，0），又设E（m，n），由例1，■=（n-a，-m），■=■+■=（m+n-a，n-m）.

因为M是DE中点，所以SADM=SAEM，又由已知可得SAEM=2SOEM，

所以AM∶MO=2∶1，AM=■.

又由中点坐标公式（m+n-a）+m=0，所以a=2m+n.

由AE2+AM2，得■[（2m）2+m2]=（■a）2，进而得a=■n=■

ZEO=（-m）+（-■），

又由例1，ZEF=（-m-■i）■=■-■i

所以ZOF=ZOE+ZEF=■+■i，

因此可得F（■，■），D（-m，■）.

因为FD=■，由两点距离公式可得m2=■.

设P（x1，y1），满足y1=■y1=■，解得x1=■y1=■，

设Q（x2，y2），满足y2=■x2y2=-x2+■，解得x2=■y2=■.

所以PQ2=[（■-■）2+（■-■）2]m2=（■+■）×■

即PQ=■.

例3.如图5，四边形ABCD、PQRS、DQEF和CSGH都是正方形，其中P点在AB上，且PRAB，PR=■AB，求证：E，R，G三点共线，且R是线段EG的中点.

■

分析：本题图形主要由四个正方形组成，宜采用复数及向量知识加以解决。

证：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，如图6建立平面直角坐标系.

■

设AB=1，则D（0，1），C（1，1）.

又设P（t，0），所以R（t，■），可得Q（t-■，■），S（t+■，■）.

ZQD=（■-t）+■i，ZQE=[（■-t）+■i]i=（-■）+（■-t）i.

所以ZOE=ZOQ+ZQE=（t-■）-ti，即E（t-■，-t）.

ZSC=（■-t）+■i，ZSG=[（■-t）+■i]（-i）=■+（t-■）i.

所以ZOG=ZOS=ZSG=（t+■）+（t-1）i，即G（t+■，t-1）.

设线段EG的中点为M（x，y），由中点坐标公式知：

x=■=ty=■=-■，M点与R点重合.

所以E，R，G三点共线，且R为EG中点.

从上述的三例中，不难看出，解题的关键是求出相关向量的坐标或点的坐标，为了简化运算，有时进行直角坐标系与复平面之间的相互转换是十分必要的。

（作者单位 浙江省余姚中学）