让学生感悟生活中的数学

高中《数学课程标准》指出：“高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力”。

随着信息技术的飞速发展，信息传播的途径更为广泛，人们每天都会接触到影响日常生活的统计方面的信息，统计知识已经成为人们适应现代社会必备的数学知识。《独立性检验》作为本次高中课程教材改革新增加的高中数学选修课内容，所涉及到的数据处理、基本的统计知识也与时俱进地纳入高中数学基础知识与基本技能的范畴。同时，它也被列为高考重点考查的知识之一。

由于《独立性检验》原属于大学课程，其理论基础要求较高，公式推导过程较繁琐，多数教师在处理《独立性检验》一课时，倍感棘手，难以把握教学中的“度”。沈阳市东北育才双语学校胡滨老师在接受参评国家优秀课任务后，选择了这一具有挑战性的课题，在教研组全体数学教师共同努力下，很好完成了参评课任务。本文将胡滨老师的课堂教学过程呈现给读者，供高中数学教师参考。

一、创设情境 引入新课

上课伊始，教师给出如下材料。

新闻报道：美国一位名叫艾莲的女士把烟草公司巨头告上法庭，理由是她的丈夫长期吸烟，导致其身患肺癌。她向烟草公司索要1.3亿美元的巨额赔偿金。她会胜诉吗？

■

学生思索，根据自己的见闻，讨论上述问题。

学生1：我认为艾莲能胜诉，生活中有过因为长期吸烟，导致身患肺癌的例子。

学生2：我觉得艾莲不能胜诉，因为生活中也有不吸烟的人身患肺癌的例子。

学生3：艾莲不能胜诉，因为患肺癌与环境、家庭遗传等因素有直接关系。

教师：同学们根据生活中的见闻以及科学常识，发表了自己的见解，特别是后一位同学提到环境是引发疾病的重要因素，那就让我们从自己做起，保护环境；至于艾莲是否能够胜诉，我们需要研究“吸烟与患肺癌是否有关”。怎样确定吸烟与患肺癌是否有关，我们应从调查、统计数据开始做起。这里，我们需要统计怎样的数据呢？（教师用大屏幕给出问题1）

问题1、我们在研究“吸烟与患肺癌的关系”时，需要用到怎样的数据？

学生思考，梳理以上的讨论，做出判断。

学生4：我认为需要调查吸烟者中患肺癌与不患肺癌的人数，以及不吸烟者中患肺癌与不患肺癌的人数。

教师：你考虑得很周全。和你的分类设想相一致，某肿瘤研究所随机调查了9965人，得到如下结果（教师用大屏幕给出例1）。

例1 为了调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机调查了9965人，得到如下结果：

■

【评述】教师精心选取与本课知识内容联系密切的新闻事件，引发学生对“吸烟是否与患肺癌有关系”的思考讨论，引导学生以数学的视角观察、分析客观事物，让学生经历观察客观事物——数学视角下的分析——抽象统计学研究所需要的分类变量——调查、统计相关数据——建构2×2列联表等统计学实验研究过程。通过以上过程，自然、流畅地引入新课，同时，让学生感悟统计学实验研究的基本思路。

二、启发引导 探究新知

问题2、观察例1的表格，该表格在结构上有怎样的特点？

学生通过观察表格，在教师引导下，熟悉表格的结构特征，明确起到核心作用的两行两列中的四个数据。

教师归纳陈述：表中显示，吸烟者中，患肺癌与不患肺癌人数分别为49和2099；不吸烟者中患肺癌与不患肺癌人数分别为42和7775，这四个数据构成了表中的两行两列。通过这四个数据，还可以得到被调查者中有2148人吸烟，7817人不吸烟；患肺癌的有91人，不患肺癌的有9874人。所以，这四个数据是给出统计表的核心数据，我们把这种统计表称为2×2列联表。其中的吸烟、不吸烟，患肺癌、不患肺癌作为统计中的不同类别又称之为分类变量，例如：性别，是否吸烟，是否患肺癌，，国籍等。

教师板书：2×2列联表：

分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别。

问题3、观察表格中的数据，你得到哪些信息？

学生5：表格中的数据显示，不吸烟的人占多数，吸烟的人占少数；

学生6：被调查者中，不患肺癌的人占多数，患肺癌的人占少数。

教师：正如同学们的观察，被调查者中吸烟的人占少数，患肺癌的人也占少数。我们应该珍爱生命，远离烟草。同学们还有其他发现吗？

学生7：患肺癌的人中，吸烟者占■，不吸烟者占■，吸烟者所占比例较高。

学生8：我做了简单计算，吸烟者中患肺癌的人数占2.28%，不吸烟者中患肺癌的人数占0.54%。

教师：的确，被调查者中吸烟与不吸烟的人患肺癌的比例是有一定差异的。与表格相比，图形更能直观地反映出相关数据的总体状况（教师用大屏幕给出等高条形图）。

■

学生对照2×2列联表，观察等高条形图，直观感觉表中数据所表达的信息。

教师：我们通过对表格中数据的分析及对等高条形图的观察，可以清楚地看到，吸烟者中患肺癌人数的比例高于不吸烟者患肺癌人数的比例，直观感觉到吸烟似乎与患肺癌有关。事实到底是否如此呢？或者说，我们能够以多大把握认为“吸烟与患肺癌有关”？这是数学中的什么问题？

学生：概率问题。

教师：那好，我们不妨设“吸烟”为事件A，设“患肺癌”为事件B；则“不吸烟”为事件A的对立事件，“不患肺癌”为事件B的对立事件。我们认为吸烟与患肺癌有关，也就意味着事件A与事件B有关，那么问题的另一面是什么？

学生：问题的另一面是事件A与事件B无关。

教师追问：无关又意味着什么？

学生：无关意味着事件A与事件B相互独立。

教师：表格中还有哪些相互独立的事件？根据相互独立事件概率都发生的概率公式，我们可以得到哪些结论？

学生10：能得到以下式子成立（学生口述，教师板书）

P（AB）=P（A）P（B）；P（AB）=P（A）P（B）；

P（AB）=P（A）P（B）；P（AB）=P（A）P（B）；。

【评述】2×2列联表是本课首先让学生了解的统计学知识，教师在与学生共同分析例1中统计表结构特点后，自然引入2×2列联表；为使学生对表格中相应行、列的数据分类有清晰的认识，引入人教A版教科书关于“分类变量”知识的介绍，帮助学生剖析2×2列联表的结构特征；特别是通过等高条形图反映数据所表达的信息，学生清晰感受到图形可以使人形象、直观地明了事物间的数量关系，体会统计方法的多样性。

在充分了解例题1的统计表给出数据所反映的信息后，教师及时引导学生把问题的探究指向运用概率知识研究吸烟与患肺癌是否有关，拉开用独立性检验的方法解决实际问题的序幕。

教师归纳陈述：整理一下我们对“吸烟与患肺癌是否有关”的探究过程，通过对例题1给出2×2列联表中数据的分析，我们直观感觉到“吸烟”与“患肺癌”这样两个事件有关，而从问题的另一面，即“吸烟”与“患肺癌”这样两个事件无关，便可以运用概率知识进一步进行讨论。

于是，我们不妨假设“吸烟”与“患肺癌”无关，即事件A与事件B相互独立，并用字母表示。（教师板书）

H0：假设“吸烟”与“患肺癌”无关，则有

P（AB）=P（A）P（B）；P（AB）=P（A）P（B）；

P（AB）=P（A）P（B）；P（AB）=P（A）P（B）；。

问题4、我们不知道这些概率值，怎么办？

学生11：是否可以用对应的频率近似表示？

教师：很好，根据概率的统计学定义，上面提到事件的概率可以用相应的频率来估计。这样，同学们就可以着手进行推理啦！

学生思考、计算，分别得出P（AB）的估计为■，P（A）的估计为■，P（B）的估计为■，并发现P（AB）与P（A）P（B）不相等。

教师：P（AB）=P（A）P（B）的差距大吗？这个差距的大小能说明什么？

学生思考、讨论。认定差距大即推出矛盾，可以否定假设H0。

教师：至此，我们似乎找到了一种方法，来判断“吸烟与患肺癌是否有关”。为了使问题的讨论具有一般性，我们引入字母表示2×2列联表中的数据。（教师用大屏幕给出下表——引用人教B版教科书的字母表达）

■

于是的估计为■，P（A）的估计为■，P（B）的估计为■┄┄。

在假设H0的前提下，

■与■·■应该很接近，■与■·■应该很接近……。

这种差距在数学中我们一般怎样表述？

学生：做差，做商……。

教师追问：怎样表述更合理？

学生12：我觉得做商不合适，做差也不太合理，用差的平方表述比较合理。

教师阐述并板书：我同意这位同学的观点，做差可能会出现正或负，正负相抵消，会产生误差，对下一步推理产生影响。

于是，在假设H0的前提下，

（■-■·■），（■-■·■），（■-■·■）2，（■-■·■）2应该比较小。

为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，统计学家由上面四个差的平方式构造了如下表达式

■+■+■+■ ①

上式乘以n就是统计学中非常有用的卡方统计量，经过化简得

x2=■ ②

式中的分母为2×2列联表中的四个总计值的乘积分子关键在于四个核心数据交叉相乘之差的平方。

x2值的大小可以决定是否拒绝原来的统计假设H0，如果算出的x2值较大，就拒绝H0，也就是拒绝“事件A与B无关，从而认为它们是有关的。

让我们回到例题1，计算一下相应的x2值，再进行下一步的判断。由于数据比较大，请同桌同学合作完成，一个人读数，一个人掌握计算器。

学生同桌合作将例题1表格中的数据带入卡方公式计算，得出值为56.631。

教师：这个卡方值很大吗？可以依此拒绝统计假设吗？

因为不了解相应的统计学知识，学生有些茫然，不敢贸然确认。

教师适时给出卡方临界值表，让学生全面了解统计学家研究独立性检验的完整经验。

■

教师：表中第一行是概率值，第二行是对应的统计值。

学生观察，思考，教师给出问题5。

问题5、如果x2>6.635，就判定不成立，这种判断出错的可能性有多大？

学生进一步思考、研究讨论，回答问题5。

学生13：按照以上研究的思路，结合卡方临界值表给出的数据，我觉得当x2>>6.635时，事件A与B无关的概率为0.010，于是判定不成立，这种判断出错的可能性应该为1%，也就是有99%的把握说事件A与B有关。

学生14：根据我们对例题1的讨论，结合卡方临界值表给出的数据，可以有99.9%的把握说吸烟与患肺癌有关。

教师：计算出的卡方值和卡方临界值表给出的数据相比对，当>6.635，我们有99%的把握说事件A与B有关，当>3.841时，我们有95%的把握说事件A与B有关；当≤3.841时，认为事件A与B无关。

像上面这种，利用随机变量卡方值来判断在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验的方法（教师板书课题）。

教师板书：独立性检验的方法：_____。

【评述】数学课程要讲逻辑推理，但在高中学段，由于知识范围所限（或依据课程标准的要求），有些公式、定理不做严格证明。此时，教师应从学生学习与探究需要出发，层层递进、步步深入地让学生感受公式、定理的合理性，而不能仅限于学生对公式、定理的记忆、模仿和应用练习；要注重揭示数学概念、法则、结论的发生发展过程及其数学本质，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再认识”、“再创造”过程，在追寻数学发展的历史足迹中，把数学的学术形态有效转化为学生易于接受的教育形态。

教师：通过以上研究，哪位同学能把独立性检验的步骤总结一下？（学生陈诉，教师板书）

学生15：（1）提出假设：事件A与B无关；

（2）根据2×2列联表与公式计算的值；

（3）查对临界值表，进行判断。

教师：上面的独立性检验方法与数学中的什么方法有联系？

学生16：与反证法相类似，好像又不完全一样。

教师追问：哪位同学能谈谈独立性检验方法与反证法的区别？

学生思考、讨论，发表见解。

学生17：数学中的反证法是严格证明命题正确；而独立性检验是通过部分调查所得数据进行推测，因此所做出的判断可能是错的。

教师：的确如此，上面我们从数据体现的只是统计上的关系，而不是因果关系。独立性检验是在统计假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不成立。因此，我们只能说有多大把握（如99%的把握）认为事件A与B有关（或者说推断不成立，这种推断出错的可能性有多大）。

【评述】完成独立性检验方法的研究后，教师适时提出“独立性检验方法与数学中的什么方法有联系”的问题，通过类比反证法，一方面引发学生深化对独立性检验基本思想、方法的认识；另一方面让学生通过对新、旧知识的对比辨析，建立新知识与已有相关知识的实质性联系，将新知识合理纳入原有知识结构。保持知识的连贯性，思想方法的一致性。

教师：让我们回到艾莲女士索赔案，艾伦胜诉了吗？（学生肯定地回答：一定胜诉！）艾伦得到烟草公司800万美元的赔偿。然而，与健康相比，800万美元是得不偿失的。

三、即时训练 巩固深化

教师出示寝室中某同学晚上睡觉打鼾的课件，提出新的问题。

教师：晚上睡觉，同寝室有习惯性打鼾的同学，是一件令人烦恼的事情。有人说，每晚睡觉都打鼾和患心脏病有关，你认同这种说法吗？怎样用刚学习到的知识进行研究？

学生纷纷议论，认同与不认同这种说法均举例加以说明。

学生18：我认为应该从调查研究开始做起，分别统计每晚打鼾和不打鼾的同学中患心脏病与不患心脏病的人数。

教师：很好，同学们能自觉运用统计思想来解决生活中的问题，的确应该从调查、收集数据开始。这里，老师给出某研究机构调查所得数据，请同学们独立完成后面的研究。

■

学生运用独立性检验方法顺利完成本问题的研究。

教师：课前布置各小组在我校高一、高二、高三三个年级对“高中生是否喜欢学数学与性别有关吗”进行调查，下面请各组组长展示调查所得数据，并请学生甲建立表格，分类整理录入数据。

各组组长分别说明所调查年级、发放问卷数与回收有效问卷数，回收的问卷中统计得到的男、女学生喜欢和不喜欢学数学的人数。

学生甲完成如下统计表

■

教师：以上是我们高二（四）班全体同学在我校高中三个年级调查得到的统计表，结论究竟如何，请同学们独立完成接下来的研究。

学生运用独立性检验方法顺利完成本问题的研究。

在研究过程中，教师要求学生在以下三方面进行交流：①卡方值；②推断结论；③所推论的结论把握性有多大。

教师：本节课我们学习并运用独立性检验的方法解决了一些实际问题。在生活中，你还有哪些最感兴趣的话题想拿出来研究？

学生19（女生）：我比较喜欢看足球比赛，想研究一下“喜欢看足球比赛是否与性别有关”。

学生20（男生）：我想研究一下“不吃早饭是否与患低血糖有关”。

学生21（女生）：我喜欢看电视的综艺节目，想了解一下“喜欢看电视的综艺节目是否与性别有关”。

学生22（男生）：我想了解一下“经常使用互联网是否影响学习”。

……。

教师：大家喜欢的话题都有一定的研究价值。课后，请各小组同学讨论确定一个本小组最感兴趣的话题作为课后的探究作业，要求每一名同学都参与探究的全过程，小组内具体分工要有记录，最后形成一个完整的探究报告。

四、总结反思 提高认识

教师：本节课同学们都有哪些收获？

学生23：通过本节课的学习，我知道了什么是独立性检验、掌握了卡方公式并尝试了运用独立性检验的方法解决生活中的实际问题。

学生24：通过本节课的学习，我了解了独立性检验的基本思想方法，通过学习也知道了统计推断可能会犯错误，这其中体现了辩证唯物主义观点。

学生25：通过本节课的学习，我了解到统计学知识的重要性，它甚至可以通过科学方法进行举证，影响法官对案件的审理。

学生26：通过本节课的学习，我感悟到生活中处处有数学。

……。

教师：同学们以上的发言从不同角度谈到对“独立性检验方法”的认识，我们学习“独立性检验”这一统计学知识，重要在于掌握其思想方法，了解这种重要的统计学方法的形成过程和实际推断原理；通过学习，在面对生活中某些问题时，知道如何运用独立性检验方法着手解决，同时要清楚所做统计推断的把握性有多大（或犯错误的可能性有多大）。最后，送给同学们一句话作为本节课的结束语。

用热情来对待生活，用行动来演绎生活，

用理性来认识生活，用心灵来感恩生活。

【评述】高中《数学课程标准》指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的和富有挑战性的。从心理学的角度看，青少年具有好奇的心态、探究的意愿。这节课，胡滨老师通过生活中新闻案例的探究引入新课，引出“吸烟是否与患肺癌有关”的探究（下转第46页）（上接第28页）课题，从而引发学生对独立性检验方法的研究。

胡滨老师立足于学生认知的最近发展区，通过精心设置的问题链，有效启发学生的思考，激发学生对知识的主动探究，使学生的思维活动在问题探究的过程中层层展开，步步深入。较好实现了学生在课堂教学过程中“听”有所“思”、“练”有所“获”。

高中《数学课程标准》对《独立性检验》的教学建议是：鼓励学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，认识统计方法的特点，体会统计方法应用的广泛性、合理性，领会统计思想在分析和认识客观现象中的重要作用。对于统计案例的内容，只要求学生了解统计方法的基本思想及其初步应用，对于其理论基础不作要求，避免学生单纯记忆和机械地套用公式进行计算。

按照高中《数学课程标准》要求，本节课将教学重点放在了独立性检验的统计学原理上，侧重于让学生在解决问题过程中初步理解独立性检验的基本思想，明确独立性检验的基本步骤及初步应用。本节课学生难于接受的一个主要之处是统计量的给出，这个随机变量是怎样构造出来的，为什么如此构造？胡滨老师采用师生共同探究的方式，让学生在探究过程中对统计量的意义有了比较清晰的认识。

在总结反思，提高认识的课堂小结环节，胡滨老师引导学生从数学的视角提出问题，并依此形成课后探究作业，体现了教师对学生自主学习、探究活动的科学安排，体现了注重培养学生创新意识的教学观念。

通过教师的精心设计，在本节课知识内容的学习过程中（课前、课上、课后），学生感受到数学的魅力，进一步学会用数学的眼光审视生活，感悟到生活中处处有数学。