投影原理在立几证明中的妙用

在解答立体几何题的时候，有时需要添作必要的辅助线.例如，在“线线平行”“线面平行”时，首先要在平面内得到一条直线与平面外的已知直线平行，这里的关键就是如何添作平面内的这条辅助线.笔者发现，很多学生碰到这类问题会茫然无措，无奈之下只能乱画乱连，解题纯粹靠运气.

根据教材（苏教版《数学》必修2第11页至第12页），投影是光线（投射线）通过物体，向选定的面（投射面）投射，并在该面上得到图形的方法.按照投射线的不同，投影可以分为两类：

第一类：投射线互相平行的投影称为平行投影（图1）；

第二类：投射线交于一点的投影称为中心投影（图2）.

图1 图2

根据平行投影和中心投影的定义，我们可以得出两条投影原理：

投影原理1 （如图1）如果投射线AA′

BB′，那么AB∥A′B′；

投影原理2 （如图2）如果投射线满足SASA′=SBSB′，那么AB∥A′B′.

上面两个原理利用平行四边形和三角形相似不难证出，而这里A′B′正是证明AB和投影面平行所要添作的辅助线.

例1 如图3，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1B和AC上的点，且A1M=AN=23a，求证：MN∥平面BB1C1C.

思路1（图3）：选择平行投影中的正投影（如果投影线和投影面垂直，则称该投影为正投影），M、N点在平面BB1C1C上的正投影分别为E、F点（E在BB1上，且满足BEBB1=23，F点在BC上，且CFCB=23）.

ME

23A1B1，NF

23AB，又AB

A1B1

ME

NF

故四边形为平行四边形（实际上是矩形），所以MN∥EF

又EF平面BB1C1C，MN平面BB1C1C

MN∥平面BB1C1C.

图3

图4

思路2（图4）：选择平行投影中的斜投影（如果投影线和投影面不垂直，则称该投影为斜投影），N点在平面BB1C1C上的斜投影为C点，接着考虑M点在平面BB1C1C的斜投影E点如何确定.注意到要使得ME

NC，只要有ME

23AC，又AC

A1C1，故只要使得ME

23A1C1.为此，只需连接BC1，在BC1上取点E，使得BEBC1=23，这样就有BEBC1=BMBA1=23，从而有ME

NC.则M点在平面BB1C1C上的斜投影为E点，MN在平面BB1C1C上的斜投影为EC，以下证明同思路1.

思路3（图5）：考虑中心投影.选择A点为投影中心，N点在平面BB1C1C上的投影点为C，接着考虑M点在平面BB1C1C上的投影G点如何确定.注意到要使得AMAG=ANAC=13.为此，连接AM，并延长交BB1（平面AA1B1B与平面BB1C1C的交线）于点G，这样就有AMMG=A1MMB=12，从而有AMAG=A1MA1B=ANAC=13，故而MN在平面BB1C1C上的投影为GC，以下证明略.

图5

图6

思路4（图6）：因为平面BB1C1C∥平面AA1D1D，所以要证MN∥平面BB1C1C就只要证MN∥平面AA1D1D.选择B点为投影中心，将MN向平面AA1D1D投影.M点在平面AA1D1D上的投影为A1点，再考虑N点在平面AA1D1D上的投影H点如何确定.注意到要使.注意到要使BNBH=BMBA1=23为此，延长BN与AD交于H点，则N点在平面AA1D1D上的投影为H点，MN在平面AA1D1D的投影为A1H，以下证明略.

在运用投影原理添作辅助线时，还有一种“截景”（可以设想在人眼和景物之间插入一张玻璃平板，当一只眼睛向景物发出投射线时，由投射线和玻璃平板的交点所形成的点集叫做“截景”）的情况（苏教版《数学》必修2第17页阅读材料有相关介绍），有些问题的辅助线就可以用“截景”来获得.

例2 如图7，在三棱柱ABCA1B1C1中，点D是AB中点.求证：BC1∥平面A1DC.

图7

分析：猜想在平面A1DC中能得到一条直线与BC1平行.选择A点为投影中心，AB、AC1为投射线.AB与平面A1DC相交于D点，AC1与A1C相交于E点，A1C平面A1DC，故DE就是BC1在平面A1DC上的“截景”，也就是要添作的辅助线.

除了证明“线面平行”外，投影原理在证明“线面垂直”或“面面垂直”问题添作辅助线时也能发挥意想不到的作用.

例3 如图8①，长方形中ABCD中，AB=a，把它折成正三棱柱的侧面（如图8②），使AD与BC重合，长方形的对角线AC与折痕EF、GH分别交于M、N.求证：平面DMN平面ADFE.

图8①

图8②

分析：根据“面面垂直”判定定理，猜想在平面DMN内能有一条直线与侧面ADEF垂直，“一步到位”添作这条辅助线有难度，所以我们分步实施.首先很容易在上底面AEG内作出GP平面ADFE（其中P为AE中点），然后考虑将GP平行投影到平面DMN上去.G点在平面DMN上的斜投影是N点，再考虑P点在平面DMN上的斜投影Q点如何确定.注意到要使PQ

GN，为此取DM中点为Q点.这样就有PQ∥AD∥GN，且PQ=12(AD+EM)=12(a+a3)=23a=GN.则P点在平面DMN上的斜投影为Q点，GP在平面DMN上的投影为NQ，也就是要作的辅助线.

当然，本题还有其他投影方法，而且除了用“线线平行”以外，还有其他证法，这里不一一列举了.

(上接第80页)

解析：定性估计，h4半高，h1，h2，h3都比半高高，且h2最高.

解答选择题既要看到常规题的解题思想，但更应该充分挖掘题目的“个性”，充分利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择.这样不但可以迅速、准确地获取正确答案，还可以提高解题速度，为后续解题节省时间.

从考试的角度来看，解选择题只要选对就行，不论用什么“策略”或“手段”，但平时做题时要尽量弄清每一个选择支正确的理由与错误的原因.另外，在解答一道选择题时，往往需要同时采用几种方法进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提供的信息，化常规为特殊，避免“小题大作”，真正做到准确和快速.