灵活巧用线段垂直平分线性质

垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线. 关于线段垂直平分线，它具有如下重要的性质：

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

灵活巧用它，可帮我们迅捷地解答一些求值和证明问题.

一、求值问题

例1 如图，∠ABC＝50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数等于______.

分析：不难发现，∠AEC＝180°－∠CED． 又∠EDC＝90°，则∠CED＝90°－∠C． 这样，求∠AEC的关键在于求∠C.

解：由AD是BC的垂直平分线，得EB＝EC．

∠C＝∠EBC.

BE平分∠ABC，

∠EBC＝1/2∠ABC＝25°.

∠C＝25°.

∠EDC＝90°，

∠CED＝90°－∠C＝65°．

∠AEC＝180°－∠CED＝115°．

例2 如图，ABC中，DE是AC边的垂直平分线，交AC边于点E，交BC边于点D，且AE＝3，ABD的周长为13， 则AB＋BC＋AC＝（）.

（A）16（B）19（C）22（D）25

分析：依题意，点E是AC的中点，则AC＝2AE＝6.要求AB＋BC＋AC的值，只需再求AB＋BC的值．

解：由ABD的周长为13，得AB＋BD＋AD＝13．

DE是AC边的垂直平分线，

AD＝CD.

AB＋BD＋CD＝13.

AB＋BC＝13.

点E是AC边的中点，

AC＝2AE＝6.

AB＋BC＋AC＝19.

二、证明问题

例3 如图，ABC中，AD为∠BAC的平分线，EF垂直平分AD，点E是垂足，交BC的延长线于点F. 求证：∠B＝∠CAF．

分析：显见，∠BAD＝∠CAD． 要证明∠B＝∠CAF，应考虑将∠B和∠CAF转化为与∠BAD或∠CAD有关的角．

证明：由EF垂直平分AD，得FD＝FA．

∠FDA＝∠FAD．

AD为∠BAC的平分线，

∠BAD＝∠CAD．

∠B＝∠FDA－∠BAD，∠CAF＝∠FAD－∠CAD，

∠B＝∠CAF．

例4 如图，ADBC于点D，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上，点E在BC的延长线上. 求证：AB＋BD＝DE．

分析：注意到DE＝EC＋CD，要证明AB＋BD＝DE，只要证明AB＋BD＝EC＋CD. 又BD＝CD，那么只要证明AB＝EC.

证明：由ADBC，BD＝CD，得AD是BC的垂直平分线.

AB＝AC.

点C在AE的垂直平分线上，

AC＝EC．

AB＝EC.

BD＝CD.

AB＋BD＝EC＋CD.

AB＋BD＝DE.