两变量联合分布在水文频率分析中的应用研究

【前言】两变量联合分布在水文频率分析中的应用研究由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。近年来，Copula函数在多变量的水文频率分析中得到了广泛的应用，其优点是Copula联接函数的边缘分布函数不必属于同一分布族，数学表达上相对简洁，各个变量之间的相依结构和边缘分布可以独立考虑[3]。Copula函数的构造方法比较多，常见的类型有椭圆型、阿基米德型和二...

摘 要：本文以汀江流域上某站点的实测洪水资料为样本，利用Gumbel-Hougaard Copula 函数构建两个边缘分布为P-III型分布的年最大洪峰流量系列与年最大七日洪量之间的联合分布。实测资料的率定结果表明，年最大洪峰流量和年最大七日洪量的联合观测值的理论概率分布与经验概率分布拟合得很好。并基于此理论联合分布，进行了一些分析计算。

关键词：设计洪水；copula；联合分布；年最大洪峰流量；年最大七日洪量

在以往的工程实践中，对于水文极值事件的描述，往往是选取能代表此极值事件的一个重要特性，再采用单变量极值分布来对其加以分析研究，却忽略了水文事件各个属性之间存在的相互联系。例如在设计洪水的时候，我们往往是对其洪峰流量或时段洪量进行单独的分析研究，而没有考虑一定洪峰流量和时段洪量同时发生的情况。事实上，同一水文事件的不同属性之间以及不同水文事件之间都或多或少地存在一定的相关性，采用单变量极值分布来进行频率分析显然不能较为全面的了解水文事件的某些统计特性且存在一定的局限性[1]。为了较全面地了解认识某水文事件，就需要从多角度对水文事件进行分析研究。目前已有很多的研究表明，采用两变量联合分布相比于单变量分布能更好地描述水文事件的统计特性，能更准确地分析各属性之间的相互关系。

本文以汀江流域某站点实测的洪量资料为基础资料[2]，利用P-III型分布作为边缘分布来构建联合分布，对此站的年最大洪峰流量和年最大七日洪量之间的联合分布情况进行研究。

1 Copula函数

近年来，Copula函数在多变量的水文频率分析中得到了广泛的应用，其优点是Copula联接函数的边缘分布函数不必属于同一分布族，数学表达上相对简洁，各个变量之间的相依结构和边缘分布可以独立考虑[3]。Copula函数的构造方法比较多，常见的类型有椭圆型、阿基米德型和二次型[4]。本文采用的Gumbel-Hougaard Copula 函数是属于阿基米德Copula家族的。

设为连续的随机变量，是变量的联合分布函数，若他们的边缘函数都为连续函数，则存在唯一的copula函数）使得：

式中：θ为copula函数的参数，其值反映了随机变量之间的相关性，可以根据之间的相关系数ρ进行估计：

由式（2）可以知道，年最大洪峰流量X和年最大七日洪量Y的分布函数F（x）和F（y）的联合分布函数为：

由此联合分布，我们可以得到不同事件的发生概率[5]，存在以下几类情况：

（1）事件或事件单独发生的概率为

（2）事件和同时发生的概率为

（3）在事件条件下，事件发生的概率为

（4）在事件条件下，事件发生的概率为

2 两变量联合分布的经验概率分布推求

关于随机变量联合分布的累积概率分布的推求，首先是要构造一个二维数据表，并将观测值分别按升序进行排列，则两变量联合分布的经验概率分布可由下式计算得到[6]，

式中：是联合观测值的个数，是联合观测值发生的次数。

3 实例研究

本文从汀江流域某站点51年的流量资料中摘取出年最大洪峰流量和年最大七日洪量，分别用P-III型分布来作为其拟合分布函数，采用Gumbel-Hougaard Copula 函数对年最大洪峰流量和年最大七日洪量的联合分布进行研究。

经计算，年最大洪峰流量系列和年最大七日洪量系列之间的相关系数为ρ=0.76。据公式（3）可得到，理论联合分布函数，即式（4）中的参数θ=2.04。分布参数的估计方法有很多，如矩法、权重矩法、概率权重矩和线性矩法等。本文采用统计特性比较稳健的线性矩法，并结合目估适线法进行微调，对分布函数中的有关参数进行估计。据年最大洪峰流量系列所拟合的P-III型分布函数的均值、变差系数和偏态系数分别为，Cvx=0.36，Csx=0.95。而据年最大七日洪量系列Y所拟合的P-III型分布函数的均值、变差系数和偏态系数分别为，将求得的边缘分布、θ参数代入到公式（4），得到的联合理论分布函数。

根据公式（9）和（10）分别求得年最大洪峰流量系列和年最大七日洪量系列的联合经验频率和理论联合分布值，点绘于图3。求得两变量的相关系数ρ=0.988，斜率为κ=0.93，说明两变量的经验联合分布和理论联合分布拟合得很好。

再求出年最大洪峰流量与年最大七日洪量之间的联合分布函数，我们可进一步推求出某个洪峰流量和某个七日洪量同时发生的概率，或者是某洪峰发生的条件下，某七日洪量发生的概率等。

经年最大洪峰流量X和年最大七日流量Y的拟合的概率分布函数可得，概率为0.1的设计洪峰流量和设计七日洪量分别为：

4 结论

本文用汀江流域某站点的流量资料，采用常用的Gumbel-Hougaard Copula 函数构建两个边缘分布函数为P-III型的年最大洪峰流量和年最大七日洪量之间的联合分布。实际资料的拟合表明，经验分布和理论分布函数拟合得很好。根据此理论联合分布函数，我们可以进一步推求某一洪峰流量和某一时段洪量同时发生的概率，或是推求在一个变量发生前提下，另一个变量发生的概率，有助于对水文事件的统计规律从多角度更加全面地认识，以便更好的服务于工程实践。

参考文献

[1] 张娜， 郭生练， 肖义等. 基于联合分布的设计暴雨方法[J]. 水力发电， 2008， 34（1）：18-21.

[2] 河海大学. 青溪水库设计报告[R]. 江苏南京：河海大学，2004.

[3] 许月萍， 李佳， 曹飞凤等. Copula在水文极值事件分析中的应用[J]. 浙江大学学报（工学版）， 2008， 42（7）：1119-1122.

[4] 冯平， 毛慧慧， 王勇. 多变量情况下的水文频率分析方法及其应用[J]. 水利学报， 2009， 40（1）：33-37.

[5] 熊立华， 郭生练. 两变量极值分布在洪水频率分析中的应用研究[J]. 长江科学院院报， 2004， 21（2）：35-37.

[6] 刘次华， 万建平. 概率论与数理统计[M] . 北京：高等教育出版社，施普林格出版社，2002.