谈对学生数学思维和数学能力的培养

摘要：数学具有抽象性、逻辑性和应用的广泛性，正是这三种特性决定了数学在当今社会处于统治地位，“一切技术，说到底包含着一种数学技术”。因此，数学教学，一方面是知识的教学，另一方面是思想方法的教学，而且后者更为重要。无论是理工科的学生还是文史科的学生，用数学的思想武装起自己的头脑，将会对自身综合素质的提高起到关键性的作用，将会对你的创新能力、适应社会的能力以及其他方面的能力的提高起到积极的作用。

关键词：数学思维；数学能力；数学教育技术

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）05-0127-03

数学学习的效果和质量，不仅表现在学生深刻而又牢固地掌握系统的数学学科的基础知识和基本技能，而且还表现在通过教学发展学生的数学思维和提高他们的数学能力。而数学这门自然科学，由于其自身的特点，它的逻辑体系，以及各部分之间的层次关系，极大地影响着学生思维的发展和能力的提高。

一、何谓数学思维和数学能力

所谓数学思维是指人脑对事物的本质和事物之间规律性的反映在数学中的具体体现。它是数学认识活动中的核心成分，是对客观现实中数量关系和空间形式的概括、间接的反映。数学思维过程，是通过分析综合而在头脑中获得对客观现实数量关系和空间形式全面、本质的反映过程。在分析综合过程中，运用比较来确定事物之间的异同和关系，在此基础上，概括出具有某些特征的事物，而抽出某种事物的属性或特征，使它们在思想上和事物本身的其他特征隔离开来，这就是抽象。数学思维的发展就是数学抽象和概括能力的发展。

思维活动的好坏与思维的素质有直接关系，例如，一道可以一题多解的数学题，在学生解题的思维活动中，能否顺利地找到不同的解法，就与学生是否具有良好的素质有关。这些素质主要包括：思维的灵活性、思维的独创性和思维的深刻性。其中，思维的灵活性表现为顺利地从一种解法转移到另一种解法，从已知因素中找出新的因素，从已知条件中迅速确定出解题方案，注意力能够灵活转移，能举一反三。思维的独创性，表现在不仅善于发现问题，提出问题，思考问题，更重要的是独立解决问题。比如，有一种解法需要适当引入一个辅助函数才能找到，但是这个辅助函数能否找到就和学生的思维是否具有独创性有关。思维的深刻性，反映在思维过程中就是概括、归纳、逻辑抽象性强，善于抓住数学现象的本质。

所谓数学能力是指一个人顺利地完成数学活动的一种个性心理特征。从心理学角度看，数学能力包括数学观察能力、数学记忆能力、数学思维能力和想象能力，其中数学思维能力是数学能力的核心，数学思维能力的发展直接影响着数学能力的发展。

二、如何发展学生思维，提高数学能力

从现代观点来看，随着社会的飞速发展，知识要不断更新，每个人都需要不断学习，补充自己，以适应不断变化的形势。因此，学习不仅仅是在理解的基础上掌握和记忆所学的知识，更重要的是掌握探索和解决所要认识的问题的方法。这种素质的获得要与基础知识的教学紧密地结合起来，从学量的知识内容中去获得思想方法，发展能力，从反复的练习中学会运用这种思想方法和发展能力，这就是为什么在数学教学方法和形式中赋予习题以特殊的地位的原因。因此，对教师而言，无论采取什么样的教学手段，达到什么样的教学目的，都必须选择一些与教学大纲的学习内容有联系的习题，使学生通过解题有效地掌握这些内容，从而形成数学思维能力和一定的思想素质。

三、如何培养学生的解题能力

加强数学学习中习题的地位和作用，一方面取决于习题的内容，另一方面也取决于解题的方法。因此，选题是至关重要的。在长期的教学工作中，注意做到以下几点：

1.在一定的教学内容里，通过例题和相应的习题概括出某一类型题的共性，从而归纳出这类“基本题型”的解题思路、方法和解题技巧。而对一些复杂的数学问题，就要联想到已经解决的类似题目或者研究是否可以分解为某些“基本题型”。所以，在教学活动中，鼓励学生积累各种解题方法。例如，在进行函数极限的教学中，让学生练习这样一些题目：

（1）■（■-■）；（2）■■；（3）■■

从中概括出函数f（x）在x0点没定义的一类极限问题，这类题目的通常做法是先将函数f（x）作适当的恒等变形或化积约分，或者分子有理化，从而转化为可以求极限的函数。

2.在教学中，依据数学的互逆关系，注意向学生传授运用逆向思维解决数学问题。所谓逆向思维，就是改变习惯性思维方式，把思维转向原思维进程的相反方面。主要表现为：

（1）公式的逆用、变用；

（2）用逆运算代替原运算；

（3）用一个命题的等价命题代替原命题；

（4）引入未知量，把未知量当做已知量参加运算，最后消去或求出未知量。例如，拉格朗日中值定理是微分学中一个非常重要的定理，也是教学中的重点、难点，其中对辅助函数的引入是证明问题的关键。在最初的教学中，按照教材的编写顺序进行讲解，结果学生反映，定理证明是懂了，但是如果让自己去证，想不到会找这样的辅助函数。针对学生提出的这个问题，对定理及其证明做了深入的思考，感觉如果从定理结论入手，采用逆向思维，一步一步往下推，直到与定理中的已知条件或已学过的知识相符，也许会找到辅助函数。具体做法如下：

画出f（x）的图形，并标明端点坐标A（a,f（a）），B（b，f（b））连接弦AB，定理结论可以变形为f'（ξ）=■，ξ∈（a，b）

上式左端恰好是弦AB的斜率，弦AB方程为y=f（a）+■（x-a）

对上式求导，得y'=■

于是有f'（ξ）=（f（a）+■（x-a））'或f'（ξ）-（f（a）+■（x-a））'=0

上式左端可以看成是函数ψ（x）=f（x）-f（a）-■（x-a）

在点ξ的导数，即ψ'（ξ）=0，ξ∈（a，b），而ψ（x）满足罗尔定理条件，所以ψ'（ξ）=0成立。上述过程又可以逆推，定理很容易证得。这里的ψ（x）就是引入的辅助函数，这样一分析，就会使人感到这个函数的引入很自然，很容易理解，学生也易于接受，同时又教给学生一种解决问题的思想方法，极大地激发了学生的学习积极性。

3.借助几何直观来处理数学中的推理论证问题，既开拓学生的解题思路，又将复杂、抽象的数学问题变得简单明了，易于理解和掌握。

比如，在讨论调和级数■■的敛散性时，考虑到该级数是连续函数f（x）=■，x∈[1，+∞）当x=1，2，…，n，…时相应的函数值之和，即

■■=f（1）+f（2）+…+f（n）+…

级数的部分和是Sn=f（1）+f（2）+…+f（n）

先做出f（x）在（0，n+1]上的图形，从图形上可以看出，Sn恰好等于n个小矩形的面积之和，其中第i个小矩形是以f（i）为高，以区间[i，i+1]为底，i=1，2，…，n，而这n个小矩形面积之和又大于f（x）在区间[1，n+1]上的定积分，即Sn＞■■dx=ln（n+1）

由于■ln（n+1）=+∞，所以级数■■的部分和Sn不存在极限，级数■■发散。

4.在教学中注意采用一题多解的解题方法，来发展学生思维的灵活性、思维的深刻性和思维的开阔性。比如，计算曲线积分■（x2-y）dx-（x+sin2y）dy，其中L是圆周y=■上由（0，0）到（1，1）的一段弧。在计算此题时，学生很自然地会想到将圆周曲线表示成参数方程：x=x，y=■，x从0变到1，于是■（x2-y）dx-（x+sin2y）dy=■（x2-■-x-sin2■）dx

此积分计算很复杂，不易求得结果。这时，提示学生可不可以用其他方法去做。比如，积分与路径无关，格林公式。在进行实际演算之后，学生发现此题用后两种方法做比较简单，特别是第二种方法。在这里，必须提醒学生注意后两种方法的使用条件。通过这道题的计算，不仅使学生归纳总结出计算曲线积分的几种常用方法，而且锻炼了学生思维的灵活性和思维的开阔性。

四、数学教育技术的运用有助于培养学生的数学思维能力和数学素养

随着计算机技术的普及与数学软件的开发运用，在课堂教学中适当引入多媒体课件和实验课教学这种新型的教学模式，凸现出传统教学模式无法取代的优势，给看似枯燥无味的数学课堂带来了无限生机和活力，具有非常重要的现实意义。

首先，借助多媒体技术讲解极限的概念、积分的定义，画出重积分中平面区域、空间区域，曲面积分中莫比尼斯带的产生过程等，图文并茂，充分展示数学的直观意义，使学生对数学概念理解得更加深透，形象生动，形成一种多媒体课件、计算机辅助教学与传统教学模式相结合的新型的教学模式，将传统教学模式的优点和现代教学模式的长处有机地结合起来，探索出一条继承传统教学模式精华，运用现代教育技术与理念，提升教学水平的新路。增加了课堂教学信息量，提高教学效率，创造了一种新型大课授课形式，同时，加强对学生数学素质与能力的培养，同时全面地提高教学质量。

其次，在掌握必要的数学基础知识、基本理论、基本技能的前提下，学生在电脑里就可以完成求函数值、导数、定积分、级数，近似计算、误差估计等数值计算，这些数学实验将帮助学生理解数学分析中的一些难点，培养学生的动手能力，提高学生空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明等诸多方面的能力，培养学生分析问题和解决问题的能力，数学表达与交流的能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，激发学生学习数学的兴趣。

再次，数学教育技术的应用是课堂教学与多媒体教学的有机结合，学生可以根据教学进度、教学计划，结合自身实际情况，制订适合自己的学习计划，这种交互式、远程式、虚拟式教学方法，是对传统的单项传授、粉笔黑板式教学模式的不可阻挡的冲击，有利于改变课堂教学中存在的种种弊端，真正把因材施教整合到数学学习中。