利用课本题巧解高考压轴题

认真研究近两年江苏高考试卷，我们不难发现，课本是高考命题的基本依据，很多高考题源自课本，或是课本习题的改编，或是课本中思想方法的延伸.只有仔细研读课本和试题，我们才能在高三数学复习中处理好课内、课外的关系，处理好“源”和“流”的关系，才能“以本为本”，做到“取法于内，获益于外”，而不是“舍本逐末”.

一、课本题源

1.普通高中新课程标准实验教科书（苏教版）必修一・P111・习题16

设a，b，c都是不等于1的正数，且ab≠1，试比较alogcb和blogca的大小.

此题不仅在表达形式上与2014年江苏卷19题类似，而且解法的大致思想方法也是相同的，在直接比较两数大小遇到困难时，可以通过两边取对数，再结合对数函数的单调性来解决问题.证明：令x=alogcb，y=blogca，此时，只需比较logcx和logcy的大小.

由于logcx=logcb・logca=logcy，结合函数f（x）=logcx的单调性得：x=alogcb=blogca=y.

2.普通高中新课程标准实验教科书（苏教版）选修2-2・P99・习题14

试比较（n+1）n和nn+1的大小.

解：两边取对数，只需比较ln（n+1）n和lnnn+1的大小，即nln（n+1）和（n+1）lnn的大小，进而，只需比较ln（n+1）n+1和lnnn的大小，因此考虑函数h（x）=lnxx，求导得：h′（x）=1-lnxx2，

当0

当x>e时，h′（x）

因此，当n≥3时，ln（n+1）n+1

当n=1或n=2时，（n+1）n>nn+1.

当然，此题也可用数学归纳法或作商比较法证明.

二、链接高考

1.（2014年江苏卷19题）已知函数f（x）=ex+e-x其中e是自然对数的底数.

（1）证明：f（x）是R上的偶函数；

（2）若关于x的不等式mf（x）≤e-x+m-1在（0，+

）上恒成立，求实数m的取值范围；

（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+

），使得f（x0）

【解析】 本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力.

解：（1）、（2）解法略

（3）解法一（标准答案）f′（x）=ex-e-x，当x>1时f′（x）>0，

古之立大事者，不惟有超世之材，亦必有坚忍不拔之志。

努力不一定成功，但放弃一定失败。______

小结：此类题目入手易，旨在考查学生转化化归思想与分类讨论思想，试题的命制注重知识与应用的巧妙结合，突出通性通法，淡化特殊技巧，重点考查学生的解题速度和准确率.本小题的解法与“题源1、2”的解法十分类似，如出一撤.

2.（2013年江苏卷20题）设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a为实数.

（1）若f（x）在（1，+

）上是单调减函数，且g（x）在（1，+

）上有最小值，求a的范围；

（2）若g（x）在（-1，+

）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论.

【解析】 本小题主要考查导数的运算及用导数研究函数的性质，考查函数、方程及不等式的相互转化，考查综合运用数学思想方法分析和解决问题及推理论证的能力.

解：（1）解法略

（2）解法一（标准答案）、证明：g（x）在（-1，+

）上是单调增函数，

g′（x）=ex-a≥0即a≤ex对x∈（-1，+

）恒成立，

a≤[ex]min.

而当x∈（-1，+

）时，ex>1e.a≤1e.

分三种情况：

（Ⅰ）当a=0时， f′（x）=1x>0.

f（x）在x∈（0，+

）上为单调增函数.

f（1）=0，f（x）存在唯一零点.

（Ⅱ）当a0.

f（x）在x∈（0，+

上为单调增函数.

f（ea）=a-aea=a（1-ea）0，

f（x）存在唯一零点.

（Ⅲ）当0

当0

x>1a时，f′（x）=-a（x-1a）x

x=1a为最大值点，最大值为f（1a）=ln1a-a1a=-lna-1.

-lna-1=0时，-lna-1=0，a=1e，f（x）有唯一零点x=1a=e.

-lna-1>0时，0

实际上，对于00，且函数在1e，1a上的图象不间断，

函数f（x）在1e，1a上有存在零点.

另外，当x∈0，1a，f′（x）=1x-a>0，故f（x）在0，1a上单调增，

f（x）在0，1a只有一个零点.

下面考虑f（x）在1a，+

的情况，先证f（ea-1）=lnea-1-aea-1=a-1lne-aea-1=a（a-2-ea-1）

为此我们要证明：当x>e时，ex>x2，设h（x）=ex-x2，则h′（x）=ex-2x，

再设l（x）=ex-2x，l′（x）=ex-2.

当x>1时，l′（x）=ex-2>e-2>0，l（x）=ex-2x在（1，+

上是单调增函数.

故当x>2时，h′（x）=ex-2x>h′（2）=e2-4>0.

从而h（x）=ex-x2在（2，+

上是单调增函数，进而当x>e时，h（x）=ex-x2>h（e）=ee-e2>0.

即当x>e时，ex>x2，

当0e时，f（ea-1）=lnea-1-aea-1=a-1lne-aea-1=a（a-2-ea-1）

又f（1a）=ln1a-a1a=-lna-1>0且函数f（x）在a-1，ea-1上的图象不间断，

函数f（x）在a-1，ea-1上存在零点.

又当x>1a时，f′（x）=-a（x-1a）x

故f（x）在（a-1，+

上是单调减函数函数f（x）在（a-1，+

只有一个零点.

综合（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）知：当a≤0时，f（x）的零点个数为1；当0

只有学会如何停下来的人，才懂加速。

一个能从别人的观念来看事情，能了解别人心灵活动的人，永远不必为自己的前途担心。______

小结：本题是用导数求解函数的单调性、最值及零点问题，难度较大，既要对a进行分类讨论又要对x进行分类讨论，构造新函数是处理这类问题的常用方法.构造法是求解高中数学问题的常用方法，但不同问题构造的方法不一样，这是难点，应熟练掌握.分类讨论的分类要完整，不漏不重.但要注意：如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是连续的一条曲线，且f（a）f（b）

解法二、g（x）在（-1，+

上是单调增函数.

g（x）′≥0对x∈（-1，+

恒成立.

a≤e-1.

令f（x）=0，则a=lnxx.

则有f（x）的零点个数即为y=a与y=lnxx图象交点的个数.

令h（x）=lnxx（x>0），则h（x）′=1-lnxx2.

易知h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+

上单调递减.

在x=e时取到最大值h（e）=1e>0.

当x0时，h（x）=lnxx-

时，h（x）=lnxx0.

h（x）图象如下

所以由图可知：a≤0时，f（x）有1个零点；

a=1e时，f（x）有1个零点.

综上所述：a≤0或a=1e时，f（x）有1个零点.

小结：此解法与“题源2”的解法十分类似.以上例子足可证明这两年江苏高考中的函数压轴题与“题源1”、 “题源2”有着不可分割的渊源关系，是高考“源于教材，高于教材”具体注脚.

由此可见，我们在备考过程中不仅要注重与课本相对接，“以本为本”，而且要注重培养知识点的迁移、整合和拓展的能力，强化“一题多解”和“数题同法”的探究.只有有机整合课本资源，实现课本与高考的对切，才能打开“源头活水”，“秒杀”高考压轴题，真正走出高考备考新天地！