巧用整体法 妙解连接体

在高中物理中，常常会遇到连接体问题，在连接体问题中，如果不要求计算各个物体之间的相互作用力，就可以把它们看成是一个整体（当作一个质点），这种处理方法叫整体法。把连接体视为一整体时，连接体各部分的运动状态可以相同，也可以不相同。若连接体各部分的运动状态相同时，牛顿第二定律可写成F合=∑mia；若连接体各部分运动状态不相同时，牛顿第二定律则写成∑F=∑miai，其正交分解式为∑Fx=∑miaix,∑Fy=∑miaiy。利用整体法解连接体问题，往往可使复杂问题简单化。整体法和隔离法在连接体问题中巧妙交替使用，会收到事半功倍的效果，下面举例说明之。

例1 如图1所示，三个质量分别为m1、m2、m3的物体，质量为m3的物体放在光滑的水平面上，各处的摩擦均不计使三物体无相对运动，则水平推力F应等于多少。

解 （整体法）三物体无相对运动，加速度大小都相等，设为a，则水平推力

F=（m1+m2+m3）a①

（隔离法）对于m1如图2所示有

T=m1a②

对于m2如图2中所示有

T2-（m2g）2=m2a③

联立①②③得

F=（m1+m2+m3）1m21-m22m2g

例2 如图3所示，在水平面上有一质量为M的楔形木块A，倾角为α，一质量为m的木块B放在A斜面上。现对A施加一水平推力F恰使B与A不发生相对滑动。不计一切摩擦，则B对A的压力大小为（ ）

A.mgcosα。

B.mg/cosα。

C.FM/(M+m)cosα

D.Fm/(M+m)sinα。

解 （整体法）B与A不发生相对运动，说明A和B有相同的水平加速度，设加速度为a，则有

F合=F=（M+m）a

a=F/(M+m)①

(隔离法)对于B物体如图4有

F合=FNsinα=ma②

FN=ma/sinα=F・m/(M+m)sinα③

对于B又有mg/FN=cosα

FN=mg/cosα

正确选项为B、D。

例3 （94全国高考题）如图5所示，M=10kg的木楔ABC静止于粗糙水平地面上，动摩擦因数μ=0.02。木楔的倾 角θ为30°，在其斜面上，有一质量m=1.0kg的物块由静止开始沿斜面下滑，当滑行路程s=1.4m时，速度v=1.4m/s,在这过程中木楔没动。求地面对木楔的摩擦力的大小和方向。（g=10m/s2）

解 对滑块m有v2=2as得a=v2/2s=0.7m/s2，

将滑块m的加速度a正交分解，如图6所示有：ax=acosθ=32a

ay=asinθ=12a

(整体法)对m和木楔M整体利用牛顿第二定律有F合x=max+MaMx

木楔没动，aM=0,F合x=f=max

f=max=1×32×0.7N=0.61N，方向水平向左。

例4 （2004全国高考题）如图7所示，一质量为M的楔形块放在水平桌面上，它的顶角为90°，两底角为α和β，a、b是两个位于斜面上质量均为m的木块，已知所有接触面都是光滑的。现发现a、b沿斜面下滑，而木楔未动，这时楔形木块对水平面的压力等于（ ）

A.Mg+mg。

B.Mg+2mg。

C.Mg+mg(sinα+sinβ)。

D.Mg+mg(cosα+cosβ)。

解 （整体法）设a、b沿斜面加速下滑的加速度分别为aa和ab。将a、b和楔形木块M看作一个整体，根据牛顿第二定律分量表达式有

∑Fy=Mg+mag+mbg-FN

=maaay+mbaby

FN=Mg+(ma+mb)g-maaay-mbaby

=Mg+2mg-m(aay+aay)

（隔离法）a、b沿光滑的斜面下滑有

aa=gsinα ab=gsinβ

aay=aasinα=gsin2α

aby=absinβ=gsin2β

FN=Mg+2mg-mg(sin2α+sin2β)=Mg+mg

正确选项为A。

例5 如图8所示，斜面长和高之比为5∶3斜面顶端有一定滑轮，绕过定滑轮的绳子把静止在斜面底端的质量为m=1kg的物体和质量为M的物体连接起来。开始M距地面高h=1m。现将m、M两物体从静止释放。当M落地后，m在斜面上前进的最大距离为0.25m。已知m与斜面间的动摩擦因数μ=0.25。不计绳与滑轮间的摩擦。（g=10m/s2）求①M的质量；②M落地前后，地面对斜面体的摩擦力分别是多大？

解 ①M落地前后，设m向上加速上滑时加速度为a1，减速上滑时加速度为a2。则M落地后m向上减速滑行时a2=g(sinθ+μcosθ)=10(0.6+0.25×0.8)m/s2=8m/s2，方向沿斜面向下。

设M落地时m速度为v，则有

v2=2a1s1①

M落地后m继续减速上滑有

0-v2=2a2s2②

其中s1=1m，s2=0.25m，a2=-8m/s2

联立①②得a1=a2s2s1=2m/s2

m和M一起加速运动时，根据牛顿第二定律有F合=Mg-mgsinθ-μmgcosθ

=(M+m)a1

M=m(a1+gsinθ+μgcosθ)/(g-a1)

=1.25kg

②(整体法)M落地前，地面对斜面的摩擦力为f1,则∑Fx=f1=ma1cosθ=1×2×0.8N=1.6N，方向水平向右。

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

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