长方体与四面体包含关系的妙用

长方体是立体几何中的基本几何体，其结构对称，各元素之间存在着相等、平行、垂直等关系，是研究线面关系、特殊几何体的一个重要载体.某些四面体可以看成是“寄居”在长方体内.如三组对棱分别相等的四面体、直角四面体（即一个顶点处的三条棱两两垂直）都可以看成是长方体的寄居体；正四面体也可以看成是正方体的寄居体.

构造长方体解有关四面体问题，能把复杂的位置、度量关系简化成典型的位置、度量关系，从整体上把握局部问题，思路更清晰，手段更灵活，使问题轻松获解.本文拟例说之.

例1（2011年高考江西卷·理21）

（1）如图，对于任意给定的A1四面体A1 A2 A3 A4，找出依次排列的A2四个相互平行的α1，α2，α3，α4

，A4 A3

使得Ai∈αi(i=1， 2， 3， 4)，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；

（2）给定依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体A1 A2 A3 A4的四个顶点满足：Ai∈αi(i=1， 2， 3， 4)，求该正四面体A1 A2 A3 A4的体积.

该题是考卷最后一题，满分14分，平均得分0.14分，只有很少的同学得了不高的分，多数考生无从下手.

分析 如果第二小题将此正四面体置于一个正方体中，问题就会更好处理：

（1）将直线A1 A4三等分，其中另两个分点依次为A2′，A3′，连结A2 A2′，A3 A3′，作平行于A2 A2′，A3 A3′的平面，分别过A2 A2′，A3 A3′，即为α2，α3.同理，过点A1，A4作平面α1，α4即可的出结论.

（2）现将此正四面体A1 A2 A3 A4置于一个正方体ABCD?A1B1C1 D1中，E1，F1分别是A1B1，C1 D1的中点，EE1 D1 D和BB1 F1 F是两个平行平面，若其距离为

1，则四面体A1 A2 A3 A4即为满D1F1C1(A4)D1F1C1

足条件的正四面体.设正方A1

E1

B1

N

体的棱长为a，若D(A2)F

CA1

M

E1

B1

A1M=MN=1，AEB(A3)

则有A1E1 =a2，

D1 E1

=A1 D12+A1 E12=

25a，

由于A1 D1? A1 E1=A1M? D1 E1，得a =5，

那么，正四面体的棱长为d=2a=10，其体积为V=a3?4×16a3=13a3=5

3

5.

（即一个棱长为a的正方体割去四个直角三棱锥后的体积）.

有些四面体是长方体的寄居体不太明显，而图形中有直角三角形、等腰三角形或是等边三角形在解题时也不妨先考虑其能否寄居在长方体内.若能，则可给解题带来方便.

例（12006年高考江西卷·理20）A

如图，在三棱锥A? BCD中，侧BD面ABD、ACD是全等的直角三角C形，AD是公共的斜边，AD =3，BD=CD=1，另一个侧面ABC是正三角形.

（1）求证：ADBC；

（2）求二面角B?AC?D的大小；

（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？

若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由.

该题是倒数第三题，平均得分为2.90，很多学生习惯空间向量解立体几何，不过该题学生不知道如何建立空间直角坐标系，导致得分偏低，但如果将其放进长方体中，问题就迎刃而解了.

分析 从题目的条件可以得出AB=AC=BC=2，因此三棱锥

A

z

体

A?中

B

的CD

三

可棱

以锥

看，

作其

棱中长

B

为D，1的

D

正C

方

是

xBE

D

正方体的棱AB，AC，BC是正方H

OyC

体的面对角线，AD是正方体的体对角线，如图所示，则可建立空间直角坐标系进行解答.

构造长方体模型解题，是一种模型化思考方法，是一种转化途径，是一种整体思维策略，对于提高学生思维的灵活性，优化思维品质是大有裨益的.