“祖暅原理”及其教学探究

数学是一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分.《普通高中课程标准（实验）》（以下简称为《课标》）在其“课程的基本理念”中强调指出：“数学是人类文化的重要组成部分，数学课程应适当反应数学的历史、应用和发展趋势，注意体现数学的社会需求，数学家的创新精神，数学科学的思想体系，数学的美学价值，以帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观，并使之成为正确的世界观的组成部分.”以此为引领，本文将对人教版A版必修2第一章的探究与发现中介绍的“祖暅原理”进行初步的探究.

1 关于“祖暅原理”

1.1“祖暅原理”的由来

“祖暅原理”在历史上也称“祖氏原理”，“幂势既同，则积不容异”（原文），“势”即是高，“幂”是面积.按照现代的理解就是：“夹在两个平行平面（等高）的立体，如果被平行于这两个平行平面的平面所截，截得的平面图形面积总相等，则这两个立体的体积相等.”

等积原理的发现起源于刘徽发现《九章算术》中球的体积公式是错误的，刘徽通过构造“牟合方盖”证明了他的结论.两个世纪后，我国南北朝杰出的数学家祖冲子之子祖暅，沿用了刘徽的思想，把目标转化为求一个立方体与其内切牟合方盖的差的部分，再把“差”自然的分成相等的八个部分，每个部分成为“小方盖差”，把问题转化为立方体的八分之一与其“小方盖差”的关系，最终求得球体积的正确公式.

1.2“祖暅原理”未能广为人知的原因

在西方，意大利数学家卡瓦列里在1635年出版的《连续不可分几何》一书中，提出了等积原理，称之为“卡瓦列里原理”.他的发现要比我国的祖暅晚1100多年.既然我国早就发现了等积原理，为什么没有为西方所知呢？

很重要的一个原因是当时的数学语言不够规范，世界上还没有一种统一的数学语言.数学文化的传播离不开数学语言的精确表达，再加上当时地域的限制，欠发达的科技水平，中西古代数学在其民族文化中的差异，导致此原理没有得到广泛的传播.也许这其中也因为这个原理当时并没有严格的证明，没有达到严格的演绎，不被西方所承认，这个原理的严格证明要用到微积分的知识.

由此笔者感受到现代数学语言的简洁性和重要性.作为处于改革浪潮中的数学教师，要在“润物细无声”中帮助学生形成数学语言，使其注重数学语言的规范化，同时也让学生感悟到数学语言的无穷魅力.

1.3“祖暅原理”的简单应用

“数学精妙何处寻？纷纭世界有模型”.在求面积或体积的题目中，有时恰当的引用“祖暅原理”，可使复杂的问题简单化.

2.1原理的形成须详细介绍

“祖暅原理”是我国传统数学

，是中华民族伟大的数学瑰宝，它与兆示着微积分萌芽的“卡瓦列里原理”是可以相互媲美的.由于在教材中只叙述了“祖暅原理”，没有提及原理的形成过程，但这个过程恰恰是一个宝藏，加之当今对学生的创新意识和建模能力有一定的要求，因而对这段历史不能弃之不讲.带领学生去挖掘它，可使学生得到很多数学美的享受，让学生既可以体会到数学构思的创新美，又可以体会到数学推理的完全美；既可以体会到数学定理的和谐美，又可以体会到数学语言的简洁美.

如果只讲“祖暅

学对“祖暅原理”的内涵，以及其相应知识的创造过程介绍偏少.缺乏自然的思维方式.教师在讲授这段数学史时，应尊重历史，对原理的形成详细介绍，让学生了解到知识是经过问题、猜想、论证、检验、完善，一步一步成熟起来的；从中也可以感受到朴素的定积分思想.笔者认为这样的教学思路更符合《课标》对数学文化的要求.

2.2情境的设置须丰富恰当

丰富的现实情境，让学生明

思空想”，而是看得见，用得着的，数学与生活是密不可分的.例如，在原理引入前，可以安排一个让学生洗扑克牌的实验，不论怎么洗，如何放置这副扑克牌，它的体积会变吗？学生通过动手实验，对原理有了直观感知.在学生了解了原理之后，可以试着让学生用“祖暅原理”的形式叙述“夹在两条平行线间的两个平面图形的面积相等的条件”，并根据长方形的面积公式，探究平行四边形面积公式，进而再导出三角形面积公式，为学生搭建适当的脚手架，为探求体积公式做准备.

2.3原理的应用须贴近生活“抽象”为“具体”，例如

通过原理在现实中的应用，化

上课时的道具：一叠无规则的作业本、一副杂乱的扑克，怎样利用“祖暅原理”求它们的体积（可让学生口述）；通过多媒体演示几何体“青花瓷碗”，此碗可以看成“函数

y =??与x轴围成的部分，绕y轴旋转180d得如图碗口的长半轴为3，深度2，学生通过对“碗”的体积具体求解，对原理有了更深一步的认识.

2.4教学问题的设计须掌握

“祖暅原理”是一个“探究”性问题，通

生的类比、创新的能力，学会数学化.在具体的操作中，一定要控制好难度，引导学生解决遇到的困难，使他们感觉到数学的博大精深的同时，也体会到数学的“妙用”，需要教师对教材安排深入思考、精心设计和充分利用.

很多教师认为这部分是

认为与高考没太大的关系，仅仅只要求学生去阅读，有的甚至不闻不问，笔者认为这完全背离了教材的编写目的，这种观念很显然是与《课标》提倡“数学探究与数学文化，数学文化应尽可能的有机结合高中数学课程的内容，选泽介绍一些对数学发展有重大作用的历史史实和人物”的理念相违背的.而且高考对于数学文化并不是不考，侧重的是数学思想，数学方法的迁移能力，而通过“祖暅原理”的教学，能够培养学生的阅读能力，对新知识、新事物的接受和整合能力.

2.5合理的布置一些思

球是由圆旋转而来的，而椭

圆同属于圆锥曲线，那么椭圆、双曲线、抛物线饶其对称轴旋转得到的几何体体积又该如何计算呢？为此引发学生思考，能不能模仿球的体积的求解方法去求这些几何体的体积，如果可以该怎么求，不行的话又该如何解决.通过知识的迁移实践，强化对祖暅原理的理解，慢慢的形成系统化和网络化，使学生的思维更流畅、更深刻、更有效、更具有创造性.由于学生的思维方式、学习基础及其心理的差异，所以这部分的要求因人而异.

3 “祖暅原理”的教学价值

3.1知识方面

有助于培养学

更全面深刻的认识，从中了解到定积分的思想，为以后高数的学习奠定基础.近年来对立体体积的考察越来越灵活，“祖暅原理”为学生在这一方面的实践能力提供了很好的素材，是非常值得挖掘、利用的.

3

有助于培养学

能力.刘徽为了堆求球体体积公式构造了一个全新的几何体——牟合方盖，通过牟合方盖证明了了古人球积公式是错误的.通过“祖暅原理”的讲授，让学生理解刘徽的构造性思维和创新的思想以及祖暅的奇思妙想，对“创新”有更深一步的体会.

3.3情感方面

有助于培养学

实，实事求是的数学理性精神.激发学生的爱国热情.这段数学史的两个人物，都是中国伟大的数学家，首先是刘徽那种敢于质疑权威，虽然《九章算术》在东汉被奉为经典著作，但是刘徽并不“迷信”，他敢于提出自己的观点，并为此构造出“牟合方盖”，虽然最后没有论证出球的体积求解公式，但是刘徽的发现对当时整个世界的数学所产生的影响是巨大的，在两百多年后，祖暅凭着对智慧和真理的不懈追求，终于得到了等积原理.在数学课上学生能够感受到伟人的求学热情，确实能激发学生在以后的求学道路上孜孜不倦的求索.

总之，学习数学史可以了解数学的

激发学生的学习兴趣，培养学生的创新意识.养成良好的学习习惯，所以教师在讲授“祖暅原理”时，要尊重历史，对于它的由来形成详细介绍；通过对原理的探究，采取符合学生认知心理的教学策略，必能使学生了解到“祖暅原理”的真正内涵.

参考文献

[1]张伟.祖暅原理的由来及证明.重庆教育学院学报，2010（5）：113-115[2]张楚廷.数学文化.高等教育出版社，2002（4）：310-313

[3]柳笛.高中：“数学史选讲”的教学案例设计——古代数学瑰宝之求体积原理.中学数学教学参考，2010（3）：16-18