巧用“线段和最小”的结论解题

【引例呈现】在直线MN上有三个不同的点依次是A、B、C，如下图所示，试在直线MN上找一点P，使点P到各点的距离和最小.

分析：三个点将直线分为四部分：射线AM，线段AB、BC，射线CN.分别求出点P在上述四段以及与A、B、C三点重合时，PA+PB+PC的表达式，通过比较得出结论.

解：当点P在射线AM上、与点A重合；线段AB上、与点B重合；线段BC上、与点C重合；射线CN上时，设PA+PB+PC的值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7，则：

a1=PA+（PA+AB）+（PA+AB+BC）=3PA+2AB+BC；

a2=AB+（AB+BC）=2AB+BC；

a3=PA+PB+（PB+BC）=PB+AB+BC；a4=AB+BC；

a5=（AB+PB）+PB+PC=PB+AB+BC；a6=（AB+BC）+BC=AB+2BC；a7=（AB+BC+PC）+（BC+PC）+PC=3PC+AB+2BC.

显然，a4最小，即当点P与点B重合时，PA+PB+PC最小.

【乘胜追击】在直线MN上有四个不同的点依次是A、B、C、D，试在直线MN上找一点P，使点P到各点的距离和最小.

仿照有三个点的情形，可以求出，当点P在线段BC上时，点P到各点的距离和最小.

【穷追不舍】上面两个问题是直线MN上分别有三个点、四个点的情形，当直线上五个点、六个点、七个点……，情况又会怎样呢？

如法炮制，若直线上依次有五个点A、B、C、D、E时，当点P与点C重合时，点P到各点的距离和最小；若直线上依次有六个点A、B、C、D、E、F时，当点P在线段CD上时，点P到各点的距离和最小；若直线上依次有七个点A、B、C、D、E、F、G时，当点P与点D重合时，点P到各点的距离和最小……

【返璞归真】通过上面的例子不难发现：若直线L上有奇数个点时，则点P与中间那个点重合时，点P到各点的距离和最小；若直线L上有偶数个点时，则点P在中间两点确定的线段（包括线段端点）时，点P到各点的距离和最小，这是一个与线段有关的重要结论.

【学以致用】运用上面的结论，在解决

一类与之相关的问题时，常可化难为易，出奇制胜.

例1 （2012年湖南永州）境内的潇水河畔有朝阳岩、柳子庙和迥龙塔等三个名胜古迹（如图所示）.其中柳子庙坐落在潇水之西的柳子街上，始建于1056年，是永州人民为纪念唐宋家之一的柳宗元而筑建.现有三位游客分别参观这三个景点，为了使这三位游客参观完景点后步行返回旅游车上所走的路程总和最短.那么，旅游车等候这三位游客的最佳地点应在（）

A.朝阳岩

B.柳子庙

C.迥龙塔

D.朝阳岩和迥龙塔这段路程的中间位置

解析：把朝阳岩、柳子庙和迥龙塔看成直线上的三个点，由上面的结论可知，当旅游车等候这三位游客的地点选在柳子庙时，三位游客参观完景点后步行返回旅游车上所走的路程总和最短.答案选B.

例2 （2003年湖北黄冈）如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A、B、C三点共线），已知AB=100米，BC=200米.为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）

A.点AB.点B

C.A、B之间D.B、C之间

解析：把大道看成直线，职工看成直线上有序排列的点，由于30+15+10=55是个奇数，利用上面的结论可知，当停靠点与第28个点重合时，所有的人步行到停靠点的路程之和最小.由于A区共有职工30人，所以第28个点在A区，答案选A.

例3 （2007年山东威海）如图，一条街道旁有A、B、C、D、E五幢居民楼.

某大桶水经销商统计各楼居民每周所需大桶水的数量如下表：

他们计划在这五幢楼中租赁一间门市房，设立大桶水供应点.若仅考虑这五幢楼内的居民取水所走路程之和最小，可以选择的地点应在（）

A.B楼B.C楼

C.D楼D.E楼

解析：把街道看成直线，大桶水看成看成直线上有序排列的点.

由于38+55+50+72+85=300是个偶数，利用上面的结论可知，当供应点在第150与151个点之间时，这五幢楼内的居民取水所走路程之和最小.

而38+55+50=143，即第150与151个点都在D楼，因此大桶水供应点应设在D楼，答案选C.