“线段的垂直平分线”教学方法初探

摘 要：《线段的垂直平分线》这一节的内容有两个定理，即线段的垂直平分线定理及其逆定理。原定理可以作为线段的垂直平分线的性质定理，学生很容易理解。而逆定理，即“到一个线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。”可以看作是线段的垂直平分线的判定定理，学生理解上有一定的难度或是理解不透。这就表现为对逆定理的应用既不到位也不灵活。基于此，本文在教学方法中有下面两点“创造”。

关键词：数学 教学 方法 初探

一、深刻理解逆定理的用法

1、在逆定理证明完毕后，我鼓励学生用符号语言表示逆定理。

即：如图1，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。

这样就使学生很明确：由一个点到已知线段两端点的距离是否相等可以判断出这个点是否在已知线段的垂直平分线上。

接下来我给出三个讨论题。

这个题目是为了巩固逆定理的直接应用，学生很容易得出答案。

题目2：如图3，已知点P在直线l上，且PA=PB，l与线段AB的交点为C，那么直线l是线段AB吗？为什么？

图3我有意画成点C是线段AB中点的情形，很多学生回答直线l是线段AB的垂直平分线，也有部分学生回答不是，但都说不清理由。于是我拿出自制教具，与图3类似，但直线l是可以绕着点P旋转的。我在旋转过程中提示：图3是一种特殊情形，满足PA=PB的直线l与AB的交点是不唯一的。于是得出图4，直线l可能在l1或l2的位置上，C点也可能是C1或C2处，过点P的直线l有无数条，点P在线段AB的垂直平分线上，但直线l不一定是线段AB的垂直平分线。

在学生分组讨论过程中，我也给出提示，过一点有无数条直线，过两点有且只有一条直线。经过激烈的讨论之后，一个女同学站起来从容的回答：“如果再有一点Q也在直线l上，且QA=QB，这样P、Q两个点都在直线l上，且P、Q又都在线段AB的垂直平分线上，而两点确定一条直线，所以直线PQ即直线l是线段AB的垂直平分线。”回答很精彩，全班同学都为她鼓掌。由此我又给出图5，即逆定理的间接应用：

若PA=PB，QA=QB，则直线PQ即为线段AB的垂直平分线。

这三个题目由简单到复杂，层层递进，达到了帮助学生理解逆定理的目的。学生也就明白了为什么逆定理可以作为线段的垂直平分线的逆定理了。

2、在本节做一做即用尺规作线段的垂直平分线中，课本提出一个问题：请你说明CD为什么是线段AB的垂直平分线，并与同伴交流，课本中图示如图6。

解答这个问题的思路很多，但直接应用线段的垂直平分线的逆定理是比较简单的。而且学生对这个问题也能表述得很清楚。我鼓励学生画出另外两种情形，如图7、图8。图6、图7、图8三种画法都是正确的，依据就是：只要存在两个点到线段AB两端点距离都相等即可，由这两个点就确定了线段AB的垂直平分线。至于两点是在线段AB的同侧，还是在AB异侧，或者两点到线段AB的距离是相等还是不相等，都不影响线段AB的垂直平分线CD的确定。

二、注重新旧知识的对比，体会新知识的妙用

在做一做之后，我又给出了下面的题目，要求学生用三种方法证明。

思路一：先证ABD≌ACD（SSS）=>∠BAE=∠CAE，

再证ABE≌ACE（SAS）=>BE=CE。

思路二：先证ABD≌ACD（SSS）=>∠BAE=∠CAE，

再由AB=AC，及∠BAE=∠CAE=>BE=CE。

思路三：由AB=AC，DB=DC=>AD是BC的垂直平分线=>BE=CE。

可见三种思路中，思路一是在学完三角形全等后，正两次全等。思路二是在学完等腰三角形知识后，只证一次三角形全等即可。思路三是在学习了线段的垂直平分线后，不再证三角形全等，利用三角形全等来证明线段或角相等在学生脑中已根深蒂固，但有时会很繁琐。学习完等腰三角形知识后，解题技巧、方法比以前更进一步了，但对学生来说，方法虽然是越来越简便了，但灵活性越来越大，学生就会觉得不易接受和理解，加上这个题目的目的是让学生自己把新旧知识比较，用事实说话，从旧知识引出新知识，再用新知识去解旧题目会更巧妙，即用新知识代替旧知识去解决问题，从而激发了学生掌握新知识的欲望，更好地理解线段的垂直平分线的逆定理的妙用。