布朗运动的计算机模拟

摘 要：布朗运动及其相关研究已经从自然科学进一步渗透到社会科学。当前计算机技术的应用成为科学研究快速、准确解决问题的方法。基于单片机的自动图像采集系统，借助Matlab处理工具对实验数据进行分析、计算，为布朗运动的深入研究提供可靠的实验数据。

关键词：单片机；控制系统；布朗运动

布朗运动(Brownian Movement)及其相关的研究曾经为我们对自然界的认知产生过巨大的影响，从事该领域研究的6位科学家因此而获得诺贝尔奖。近来，人们还提出布朗运动对社会科学的渗入和影响，这一趋势在20世纪已经萌发，法国数学家路易斯•巴舍利耶(Louis Bachelier)第一个应用布朗运动理论进行金融市场的分析，进入21世纪的短短几年又有相当程度的发展，在软凝聚态(介于液态与固态之间的物质状态)、无序系统结构、特殊生物行为、渗透等问题研究时，发现用所谓的约束布朗运动来描述，可以较好地解释其极为复杂的行为与特征。当前基于计算机观察与模拟的布朗运动已经成为同类研究的基础。

一、布朗运动研究的发展

布朗运动最早由英国著名科学家罗伯特•布朗 (Brown)于1827年在研究植物花粉时发现，即浸泡在水中的花粉粒子的奇异的、不规则的运动。后来为了纪念和表彰他的伟大成就而以他的名字命名，把像小花粉那样小的微粒叫布朗微粒。

1905年爱因斯坦在其“奇迹年”中完成了一篇关于布朗运动的论文，首先将布朗运动的研究量化。1908年，法国物理学家佩兰(Perrin)做了出色验证实验，证实了分子的实在性，他于1926年荣获诺贝尔物理学奖。从那时起，布朗运动成为重要的研究对象。布朗运动的轨迹线是其无规行走的结果，其物理原因是液体中周围分子对微粒撞击造成的瞬时涨落。无规行走问题在其他许多领域内都很有用。现在广泛应用的有两种理论处理方法。一种是平均场方法，这种方法在处理随机系统时十分有用。另一种理论处理方法是把空间维数d推广到非整数值(即分型Fractals)。

取某一瞬时位置为坐标原点，粒子走了N步，总位移矢量R应是单步位移矢量r的矢量和，即：

(1)

因为空间是对称的，故〈R〉＝0，需用总位移的均方根R的平方来度量布朗微粒的轨迹，即：

(2)

式中表示对各种可能走法的平均。

爱因斯坦利用分子运动论的一些基本概念和公式，假设胶粒是球形的，把粒子在X轴方向的平均位移x，粒子的半径r，介质的粘度η，温度T和观察时间t联系起来，得到了布朗运动公式：

(3)

式中R为气体常数(摩尔气体常数)，L是阿佛加德罗常数，经实验证明公式是正确的。

从路易斯•巴舍利耶引入布朗运动数学模型来描写投机浮动造成的价格涨落，到1959年美国海军实验室的经验研究使布朗运动在金融界成为描写股价涨落的主流理论，1973年麻省理工学院数学家布莱克(F.Black)和芝加哥大学经济学家修斯(M.Scholes)从现代股票市场分析建立了人们称之为Black-Scholes的方程，随即引起大量的研究，使布朗运动在其他理论中的应用达到顶峰。默顿(R.Merton)和修斯因此共同获得1997年的诺贝尔经济学奖。布朗运动的理论构筑了主流金融经济学(数理金融学)的完整体系，由此开创了布朗运动理论在更加广泛领域中的研究。

二、布朗运动的计算机采集系统

研究布朗运动规律需要大量的实验数据为基础，基于计算机处理的布朗运动系统的开发研究成为物理学及计算机科学共同关注的热门问题。

系统设计基于单片机采集与上位计算机处理的布朗运动系统是利用现代技术研究布朗运动的新方法，体系结构如图1所示。它主要由单片机、CCD时序产生电路、A/D转换电路、存储器、上位计算机处理及还原等组成。系统通过CCD时序产生电路嫁接到普通生物显微镜上，实现把显微镜所能观察到的内容，在单片机的控制下，由CCD采样，经A/D转换电路通过并口和计算机通讯，由计算机完成信号的处理，呈现还原的过程。这在应用中可以满足观测实验的测量要求。

1.CCD采样电路

CCD采样电路由普通显微镜加装CCD摄像头而成。其特点是既保留原有的放大率，又增加了CCD所特有的特性。首先，精度高、有光积分时间和信号存储功能。CCD的像感灵敏度较高，在可见光低照度(0.1勒克斯)的情况下也能摄像，对红外光也灵敏。其次，通用性强，适合连接电视机和计算机。这样的采样电路为布朗运动实验的创新带来了新思路，同时为拓展实验的空间，实现仪器跨学科的综合应用开辟了广阔的前景。

CCD将光信号转换成视频脉冲信号后，经差分放大和电平调整电路后，输出送入A/D转换器的Ain，单片机要完成的工作是控制CCD时序脉冲的产生和高速A/D采样频率的实现。实际采用CCD测量缩短了测量时间，减少了外界环境对测量精度的影响，能得到精确的测量结果。

2.A/D转换

在数据采集单元中，A/D转换器选用美国MAX-IM公司2003年推出的一种多通道12位串行模数转换器MAX1230，其结构原理如图2所示。本系统中，A/D转换器的控制不用系统CPU，而是用专用逻辑控制电路完成，包括地址产生器、总线缓冲隔离器、读写控制逻辑电路和数据存储单元。在数据转换中间过程无需CPU干预，对CCD数据转换由逻辑控制电路自动完成。

按照采样和转换过程中时钟工作方式的不同，MAX1230有4种工作方式可选择。本系统采样和转换使用内部时钟工作方式，产生一个宽度大于40ns的低电平来对采样和转换进行初始化。工作时，由单片机产生和信号以控制转换过程，并用信号作为外部中断源来触发单片机的INT0中断。单片机在响应中断后将产生串行时钟SCLK和片选信号，转换结束后，变成低电平表示转换结果有效，可从Dout引脚读取转换结果数据。转换结果有12位，并以“0000”为前导形成2个字节从Dout引脚输出，同时与串行时钟SCLK的下降沿同步。

3.数据处理

自动控制检测的大量数据，需要完成计算、曲线绘制、图形复原及对干扰数据进行去噪操作等，这为计算机的处理带来了巨大的工作量。解决这些海量计算的问题，在众多软件中，Matlab以其强大的计算功能，丰富方便的图形功能，模块化的计算方法以及动态系统仿真工具，脱颖而出成为控制系统设计和仿真领域中的佼佼者，同时也成为当今首选的科学工程语言。

目前Matlab软件为数据分析和数据可视化以及算法和程序开发提供了最核心的处理工具。根据Matlab提供的数学和工程函数，工程技术人员可以在它的集成环境中交互或编程以完成各自的计算。基于计算机处理的布朗运动系统设计就选用它完成数据的处理与图像的绘制。

布朗运动无规行走的轨迹线的计算一直是研究的热点问题。佩兰于1908年用显微镜测量了布朗运动的轨迹，采用每隔30秒记录一次某个微粒的位置，得到一幅由长长短短的直线段连接成的轨迹图。他又将测量时间间隔缩短为每隔3秒，画出另一幅微粒的轨迹图。

利用设计的计算机自动采集系统，可将记录微粒坐标的时间延长到每隔数小时一次，或者缩短到数毫秒一次，时间间隔跨度可以扩展到天也可以缩小到毫秒。经过处理的单帧图像中的观察微粒可以处理为特殊颜色的点，用getframe命令把处理的图像存储下来，每个图形成一个列向量，再用n行这样的列保存n幅图，成为一个大矩阵。最后用movie命令连接重放，产生动画效果，如此便于观察、验证布朗微粒轨迹图的规律性。

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4.计算机模拟方法

计算机模拟方法依靠具体的数学或者物理模型，通过计算机编程达到对模型模拟实现，生成可视化效果的方法。它包括两种方法：其一是确定的方法，就是对模拟对象建立确定的模型，严格遵守所建立的模型。其二是随机的方法，也称为蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，能比较好地模拟随机现象且普适性比较强。

5.计算机模拟布朗运动的实现

计算机模拟布朗运动依据研究需要，采用蒙特卡罗方法，运用Matlab建立数学模型的计算机求解的程序来完成模拟布朗运动的全过程。

图3为对二维正方点阵限制性布朗运动自回避行走(SAW)模型的行走终止(WT)效应进行的计算机模拟，模拟过程借助Matlab的随机函数，加以二维等步长垂直运动限制形成的运动图形，相应的WT点如图中箭头终点位置所示，上下左右4个相邻位置方向都为回避点。

在计算机模拟SAW模型时，对特定的行走过程如果没有达到要求的步数而出现WT效应时，采取的方法是不考虑该过程，重新开始一次行走过程并且直到满足一定的步数为止。

通过计算机对限制性布朗运动自回避行走的模拟，对比基于单片机采集与上位计算机处理的布朗运动数据，可以较好地解释自然界与经济社会中许多极为复杂的行为与特征。

三、结束语

通过以上系统设计及数据计算，根据计算还原结果，充分证明，利用计算机自动控制技术和计算机强大、精确的软件计算功能，可以实现对自然界无规则运动的有效描述，为科学研究及应用提供可靠的实验依据。

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