股票价格行为关于几何布朗运动的模拟

摘要：在传统的期权定价理论中，我们需要假设股票价格行为在短期服从于几何布朗运动，以此为基础我们发展出了Black-Scholes等期权定价公式。但现实中股票价格是否真能如假设一样服从几何布朗运动？本文利用2012年11月29日至2013年11月29日的上证综指每日数据，采用蒙特卡罗模拟法进行分析，通过比较在几何布朗运动情况下股票价格的模拟值和现实中股票价格行为的拟合优度，判断现实生活中股票价格行为是否服从几何布朗运动。利用线性回归方程对模型进行修正，进一步判断模拟结果的拟合情况。

关键词：几何布朗运动 上证综指 模特卡罗模拟 拟合优度 线性回归

一、股票价格行为的几何布朗运动

影响股票价格变化的因素主要有股票价格随时间上涨的趋势和股票价格的平均波动率。前者对股票价格增长的贡献取决于时间的长短；后者只取决于布朗运动造成的随机波动。在广义的维纳过程中我们假设期望漂移率为常数，即S=μt。但实际中假设期望收益率为常数更为合理，如果股票在t时刻的价格为S，那么股票价格的漂移率应该为μS，其中μ为常数。因此得到了一个广泛使用的描述股票价格行为的模型：

在得到了股票价格行为的几何布朗运动模型之后，我们将是利用该模型来模拟股票价格的波动情况，同时与股票价格的实际情况进行对比分析，观测实际中股票价格行为是否满足几何布朗运动。

在进行模拟之前，我们需要先利用伊藤引理求μ和σ的估计值。我们首先需要知道μ表示单位时间内的期望回报率，σ表示单位时间内股票价格的波动率。

二、蒙特卡罗模拟

本文将利用Excel对ε～N（0，1）进行随机抽样，利用抽样结果进行蒙特卡罗模拟，将模拟结果同股指的实际价格波动进行对比，判断股指价格是否服从几何布朗运动。同时由于蒙特卡罗模拟存在着一定的偶然性，所以我们将进行3次相互独立的蒙特卡罗模拟。

在进行蒙特卡罗模拟之前，我们需要估计股指的预期收益率[μ]和收益的标准差[σ]。我们定义单位时间为一天，因此预期收益率[μ]和收益的标准差[σ]分别代表一天的股指预期收益率和股指一天内收益的标准差。对应于上述的预期收益率、标准差的计算公式，即为t =1。

我们从国泰安数据库收集到的2012年11月29日至2013年11月29日的上证综指每日收盘指数，利用公式[μ]=[ElnSt+tSt t]、σ2=[varlnSt+tSt t] 可以我们可以发现，在3次蒙特卡罗模拟过程中，模拟的效果还是相当理想的，无论是蒙特卡罗模拟结果还是股指实际价格，都具有一种回归均值的趋势，这与几何布朗运动的特点相似。

三、拟合优度分析

单独观察模拟结果折线图并不能给我们一个量化的指标来解释模拟的拟合程度，因此我们需要利用残差平方和对模拟结果进行进一步地分析。而在此之前，我们将对蒙特卡洛模拟结果和股指实际价格的数据进行描述性分析：

我们可以发现，就均值、中位数以及最大值、最小值而言，股指的实际价格同3次模拟结果几乎相同，可见模拟的结果还是相当准确的。更为惊奇的是我们看到股指实际价格的偏度更接近于0，反而是3次模拟结果或多或少地偏离了正态分布。同时从峰度指标我们可以发现股指实际价格的峰度值为2.4，要小于3，即股指实际价格的分布呈现出后尾，这与前人的研究也是相符的，不过我们发现模拟结果1和模拟结果3的峰度值同样也是2.4。只有模拟结果2的峰度值相对较大。

但是相比较于3次模拟结果，股指实际价格的标准差为115.1，相比模拟结果1和模拟结果3具有更大的波动率。

可以总结发现：相比较于几何布朗运动，股指的实际价格具有较高的波动率和较小的偏度和峰度。

在了解了股指实际价格和模拟结果的分布情况之后，我们希望对模拟结果的拟合优度进行测量，比较拟合优度是否会和波动率的拟合程度、偏度峰度的拟合程度有一定的关系。

（一）回归模型第一部分

回归方程4中的R-square为89.8%，因此我们的模型基本可以完全解释拟合优度G值。其中常数项C为2346.376，说明利用几何布朗运动来模拟股票价格行为存在着固有的偏差。而均值、标准差的偏误都会带来拟合优度G值的增大，而关于正态性的拟合程度指标偏度、峰度对拟合优度没有明显的影响。

（二）回归模型第二部分

四、结论

本文我们利用蒙特卡罗模拟的方法对股票价格行为是否服从几何布朗运动进行了检验分析。从模拟结果来看，我们发现在2012年11月29日至2013年11月29日这段区间上我国上证综指的总体波动情况是吻合几何布朗运动的。这为金融衍生品工具的定价模型如Black-Scholes公式提供了有力的支持。同时我们通过对拟合优度进行分析，在回归模型第一部分中发现水平值（均值、极差）与波动率（标准差）的拟合程度对拟合优度具有显著影响，且偏差越大拟合优度越差。而有关正态性的拟合程度对拟合优度没有明显影响。在回归模型第二部分中我们发现均值的正向、负向偏误对拟合优度影响不同，其中正向的偏误对G值影响更大。

因此当我们能够较好地预测真实股价的均值、极差、波动率时，我们可以用其作为限制条件，从而提高模拟结果的准确程度。

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