Copula的投资组合选择模型的应用研究

摘 要：结合Copula技术和GARCH模型，建立了投资组合的CopulaGARCH模型。由于该模型可以捕捉金融市场间的非线性相关性，因而可用于投资组合的风险分析中。利用这个模型，并结合Markowitz的投资组合选择模型，对我国的一支开放式基金中信红利精选股票型证券投资基金投资组合的选择进行了优化，本文应用lingo 8.0，在收益率一定的情况下， 得到了风险（VaR）最小的投资组合。

关键词： CopulaGARCH模型；开放式基金；投资组合选择；VaR

中图分类号： F224 文献标识码： A 文章编号：1003-7217(2011)06-0059-03

一、绪 论

随着金融市场的日益动荡以及金融危机的频发，如何对金融风险进行有效监控,进而降低风险成为金融界和投资者关注的焦点。证券投资基金的风险管理是现代金融领域的一个重要问题，对于基金管理者来说，有必要对其所管理的基金投资组合在一定时间内所面临的风险进行量化分析，以便为潜在的损失做好准备，并依此适时调整投资组合，降低风险。

传统的VaR技术是假定单个资产收益服从正态分布，资产组合中不同的风险资产收益线性相关。事实上，这种假设经常与客观事实相违背，特别是有极端事件发生时，在正态分布假设下进行的资产组合的风险值与实际情况偏差较大。特别是在VaR的估计中，用简单的线性相关来描述多变量的尾部相关性显然是不充分的。多变量之间的关系最完备的刻画应该是它们的联合分布。为了克服线性相关性的种种弊端，我们将通过Copula函数建模来克服这些问题。Copula 函数方法是研究多个随机变量间相关性的一个很有效的方法。它最早由Sklar 在1959 年提出，在1999 年左右开始被广泛应用于金融领域，尤其是风险管理建模中。近年来,国内外对Copula 函数方法的研究非常活跃，它被广泛地应用于市场风险、信用风险等多个领域。与传统方法不同，Copula 函数方法不直接对随机变量Xi之间的相关性进行建模，而是对其分布函数Ui=F－1i(Xi)之间的相关性进行建模，这样做能将随机变量间的相关性与各个随机变量各自的边际分布分开，能更灵活地模拟实际情况。

二、Copula函数的定义和相关定理

定义1.1 (Nelsen,1998)［1］N元Copula函数是指具有以下性质的函数C：

C=IN=［0,1］N;

C对它的每一个变量都是递增的；

C的边缘分布Cn(•)满足：Cn(un)=C(1,…1,un,1,…,1)=un，其中u∈［0,1］，n∈［1,N］。

显然，若F1(•),…,FN(•)是一元分布函数，令un=Fn(xn)是一随机变量，则C(F1(x1),…,Fn(xn),…,FN(xN))是一个具有边缘分布函数F1(•),…,FN(•)的多元分布函数。

定理1.1 (Sklar定理［2］)令F为具有边缘分布F1(•),…,FN(•)的联合分布函数，那么，存在一个Copula函数C，满足：

F(x1,…,xn,…xN)=C(F1(x1),…,

Fn(xn),…,FN(xN))(1)

若F1(•),…,FN(•)连续，则C唯一确定；反之，若F1(•),…,FN(•)为一元分布，那么由式(1)定义的函数F是边缘分布F1(•),…,FN(•)的联合分布函数。

通过Copula函数C的密度函数c和边缘分布F1(•),…,FN(•)，可以方便地求出N元分布函数F(x1,…,xn,…,xN)的密度函数：

f(x1,…,xn,…,xN)=c(F1(x1),…,Fn(xn),

…,FN(xN))∏Nn=1fn(xn)(2)

其中c(u1,…,un,…,uN)=C(u1,…,un,…,uN)u1…un…uN，fn(•)是边缘分布Fn(•)的密度函数。

三、投资组合选择模型的改进

本文结合利用Copula 函数方法与GARCH理论，并引进VaR（Value at Risk，在险价值）这个风险量化指标讨论投资组合的风险分析和最优化问题［3］，并将该方法用于我国开放式基金的最优投资组合选择上。这里，以Markowitz 投资组合模型作为基础，对传统的最优投资组合选择模型从以下三方面进行了改进［4，5］：

1.对单个资产收益率条件分布估计。

Markowitz 投资组合模型在分析投资组合标的资产中各自的收益率分布函数时，传统的做法是假设Xt服从一维高斯分布函数，或服从经验分布函数。将标的资产的收益率分布模拟为高斯分布函数的这种做法对分布函数的中部模拟得比较准确，但高斯分布尾部较薄，现实市场上的分布通常表现出一定的厚尾性，因此应用高斯分布函数对尾部模拟的误差较大。

2.对风险量化指标的选择。

在 Markowitz 的模型中以方差来度量投资组合的风险，这种做法不仅在处理由多个资产组成的投资组合时计算量非常大，并且在各资产的协方差矩阵不可逆时，该模型将无法获得一个真正意义上的最优投资组合的解。本文在Markowitz 模型的基础上，引入VaR作为风险度量指标求解最优投资组合［6］。

3.对多个资产间的相关性的计量。

传统做法假设投资组合回报率的分布服从多维高斯分布、多维Student-t分布或经验分布，这样做首先会使模型过于单一，不能具体问题具体分析。其次，高斯分布函数的尾部相关性很差，这与现实不符。现实中的尾部，尤其是极限尾部都呈现出较大的厚尾性，而这是多维高斯分布所不具备的。本文应用Copula 函数方法模拟投资组合各个资产间的相关性。

四、基于Copula的投资组合选择模型

首先，我们应用GARCH理论来对单个资产的对数收益率边际分布进行建模.设给定资产在t日的价格为St，它在时间段(t,t+1)内的对数收益率为rt+1， 则有rt+1=ln St+1St，显然rt（固定时间t）为一随机变量。

其中X为给定资产价格的对数收益率，即

rt=μ+at

at=σt•εt εt~N(0,1)

σ2t=α0+α1a2t-1+βσ2t-1（3）

其中，rt为收益率序列，μ为rt的样本均值；at为rt的波动项，用来反映收益率的波动性， at的形式使得GARCH模型能够较好描述收益率序列的各种特性［7］。 这里εt为标准正态分布，其中α0、α1和β为待估计的参数。

P(Xt+1≤rΩt)=P(at+1≤(x－μ)Ωt)=

P(σt+1εt+1≤(x－μ)Ωt)=

P(εT+1≤x－μα0+α1a2t+βσ2t)=

N(x－μα0+α1a2t+βσ2t) （4）

其中，Ωt为到时刻t为止的信息集．此时，式（4）即下一观测时刻收益率Xt+1的条件分布．

其次，估计多个资产间的相关矩阵R，本文参考Embrechts［8］中所阐述的方法，模拟出一组满足正态Copula函数的随机变量：

用蒙特卡罗方法模拟出一组相互独立并符合标准正态分布的随机数z1,z2,…,zn

应用Cholesky方法可以将矩阵R转化为一个n×n的矩阵A和它的转置AT的乘积：R=AAT

令wi=Azi，再令ui=Φ(wi)，其中Φ为一维标准正态分布函数，可以看出(u1,u2,…,un)T是满足相关矩阵为R的正态Copula函数的。

这样便将此投资组合标的资产间的相关性部分模拟为正态Copula函数．而对于各个标的资产的收益率ri，可以由ri=F－1i(ui)求出，其中F－1i为标的资产的收益率分布函数的逆函数［9,10］。

我们对各资产的收益率序列运用CopulaGARCH模型，估计得到其边缘分布函数Fit(•)，i=1,2,…,n及相关结构的Copula函数C(u1t,u2t,…,unt)，然后通过Monte Carlo模拟法模拟得到服从相应Copula函数分布的序列(u1,u2,…,un)，最后由边缘分布函数Fit(•)，i=1,2,…,n的逆函数计算得到相应的仿真资产收益率：

rit=F－1it(uit)，i=1,2,…,n（5）

rit=ln Sit－ln Si,t－1 ，i=1,2,…,n，

t=1,2,…,T （6）

从而得资产价格：Sit+1=Sitexp (rit+1)

设ki表示资产的份额，此时投资总额St=∑ni=1kiSit,其中n为投资组合的资产总数，第i个资产在投资组合中的权重δit=kiSitSt,显然∑Nn=1δn=1．

此时，第i个资产在持有期t,t+1内的损失率(即单位货币的平均损失)为：

it+1=Sit－Sit+1Sit=Sit－Sitexp (rit)Sit=

1－exp (rit) （7）

如果将全部资金St投给第i个资产，第i个资产在持有期t,t+1内的损失为：

Lit+1=Stit+1=St(1－exp (rit))（8）

根据单个资产的损失率，可以计算得到投资组合在持有期t,t+1内的损失率：

t+1=∑ni=1δitit+1=∑ni=1δit(1－exp (rit+1)) （9）

投资组合在持有期t,t+1内的损失为：

Lt+1=Stt+1=∑ni=1Sit(1－exp (rit+1)) （10）

在实证分析时，首先采用多次模拟过程获得资产投资组合损失值Lt+1，再从经验分布中得投资组合VaR值：

P(Lt+1≤VaRαt+1)=1－α （11）

其中VaRαt+1表示在持有期t,t+1内、1－α置信度下的VaR值．

有了收益率和风险的定义，我们在此应用投资组合选择的均值-VaR模型。该模型是在给定期望收益水平下最小化投资组合的VaR。不含无风险资产时，模型可表示为：

min VaR=∑Ni=1ωiVaRi∑ni=1ωiXi=U∑ni=1ωi=1（12）

其中ωi表示第i支股票的权重，Xi表示第i支股票的收益率，U表示期望收益水平。

五、开放式基金投资组合选择的实证研究

本文选取我国的一只开放式基金中信红利精选股票型证券投资基金的前十大重仓股构成的投资组合为研究对象。采集的数据是：2008，10，8~2008，12，31的每天的收盘价。

运用本文的投资组合选择的改进模型和Monte Carlo仿真技术，结合历史数据，得到U=13.4%，同时可以得到样本对(x1,x2,…,xn)，将其代入上述模型可求解最优投资组合ω以及相对应的VaR值。

六、结 论

为了分散风险，投资者往往会对各种金融资产进行组合投资来对冲风险．这就要求投资者要充分了解资产间的相关性，但金融市场的时变、波动、非线性等特点使得各资产间的相关性也复杂多变．Copula理论将此问题简单化，它将资产的边缘分布和资产间的相关结构分开来研究，其中资产间的相关结构由一个Copula函数来描述．使用Copula函数可以克服上述多元统计分布函数估计中存在的问题［11］。

本文建立了CopulaGARCH模型，该模型不仅可以较好的描述金融时间序列时变的波动特性，还可以将变量的相关程度和相关模型结合到一起来研究［12,13］；提出了可以用Copula模型来分析多个资产间的相关关系，从而为资产投资组合的选择提供依据。

基于Copula理论对我国的一支开放式基金中信红利精选股票型证券投资基金投资组合的选择进行了优化，通过建立多变量的金融时间序列模型来对金融资产的投资组合进行风险度量。并应用lingo8.0，在收益率一定的情况下， 得到了VaR最小的投资组合的权重.进而提高了我国开放式基金投资组合的风险预测的精度。这不仅可以帮助金融资产管理人更科学有效地管理好掌管的资产；对投资者来说，也可以使用投资模型结合自身需求来对金融资产进行组合投资，以此达到分散风险、提高收益的目的，从而使投资行为更加理性化。

参考文献：

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Empirical Analysis about Portfolio selection of Copula

YANG Xiangyu1, GAO Nannan2

(1.College of Mathematics and Econometrics, Hunan University, Changsha, Hunan 410082, China;

2.Vipshop Electronic Information Technology Co.,LtD, Guangzhou, Guangdong 510370,China)

Abstract：In this paper, Copula and the forecast function of GARCH model are well combined, and a CopulaGARCH model is built for risk analysis of portfolio investment as it can describe the dependency structure of multi dimension random variable. By this model and Markowitz'portfolio selection model, empirical portfolio selection analysis is made in Chinese open end funds. The portfolio with minimum VaR when the yield is given is get by lingo8.0 .

Key words：Copula GARCH model; open end funds; portfolio selection; Value at risk

收稿日期： 2011-03-22

基金项目： 教育部人文社会科学研究项目 (10YJAZH103);湖南省自然科学基金资助项目（09JJ5004）

作者简介： 杨湘豫（1964―），女，湖南长沙人，湖南大学数学与计量经济学院教授，研究方向：金融数学。